关于Diophantine方程31x2+33y=2z.pdf

第26卷第3期 佳木斯大学学报(自然科学版) Vd．26No．3 2008年05月 JournalofJimusi Science 2008 University(NaturalEdition) May 文章编号：1008—1402(2008)m一∞94一∞ 程31x2+33y=2彳 关于Diophantine方 张锦来 (朝阳师专．虹宁朝阳122000) 摘要： 用递推序列与因子分解相结合的方法证明了方程31x2+337=2l仅有整数解3l+33 =26．显然这一方法可用来求解方程麟2+矿=2I，其中a，d为整数． 关键词：Diophantine方程；整数解；递推序列法；因子分解法 中图分类号：0151．1 文献标识码：A 易证珥，％有如下性质： 0引言 。(i)2I‘。+。=A(‰‰一1023v．v．) 对于Diophantine方程 (ii)2v．+。=．：I(1‘一移．+u．t，-) ∥+．∥=2l，口，d为互素的整数 (1) 特殊地2u：．=．：I(u：一1023v：)．1‘2．=．；I(Ⅱ乙 人们曾解决了口，d为奇素数时的情形，本文给出口 一284“)，移2_=Au．t，_ =31，d=33时的解法，从而提供了一种解决a．d 为整数时的解法． (iii)u．=AuIH。．I一2I‰．2 首先叙述一个引理： (iv)秽．=Aul％．1—28锣．．2 引理 设2’d，d0，如果方程 (v)92州：(t，2州一2d)从’ 茗2 4-谚y2=2。，(茗，Y)=1，二2(2) (I)若2，‘设‘=2m，则 有整数善，y，z，则它的任何一组整数解都可表成 ， 堡掣：ItT,。：A(u：一产+t)_=^～u_一z —————_；r——一= ．x+r，，4,-2--忑．：A(卫盟掣)·。二：f(=。一 2)+2，A=±1，A’=±1其中I是适当的正整数． 332^+‘+A(332^”一31x2) 量．．，，l，：。是方程(2)的最小解． 证明 见参考文献[1] 现本文给出如下结论： 31x2亦矛盾． 定理Diophantine方程 31x2+337=2。 (3) 28移：)=秒2_+I=名·33，l，即 仅有整数解．3l+33=2‘． 1 定理的证明 [1】当y=2，，。+j时，令u：盟等型 锣=’量·3371，r=2z一2，则(3)式化为 =(9．，V‰)=(9．，I／,m)=l，故(5)式化为 “2+1023v2=27 (4) 因为(4)式有最小解(‰，移。，ro)=(1，1，10)，由引理 ∽·，‘ 。 ．巴-T“166％v=皇33r*【％+I =地·