关于不定方程x3+27=139y2.pdf

2012年3月 重庆师范大学学报(自然科学版) M盯．2012 of Normal V01．29No．2 第29卷第2期 Journal Science) ChongqingUniversity(Natural 关于不定方程戈3+27=1 39y2’ 熊 川，罗 明 (西南大学数学与统计学院，重庆400715) 方程X3+27=139y2的全部整数解。 关键词：不定方程；整数解；递归数列 中图分类号：0156 文献标志码：A 由柯召、孙琦、曹珍富等人得到¨圳。但是当D含有6后+1形的素因数时，方程的求解比较困难。本文运用Pell 引理l【31 。 引理2[31不定方程石2—108y4=1仅有整数解(算，Y)=(±1，0)。 引理3【3’不定方程X4—3y2=1仅有整数解(菇，Y)=(±l，O)。 引理4【31不定方程菇2—27／=1仅有整数解(菇，Y)=(±l，o)。 引理5p。不定方程 戈3+1=417y2 (1) 仅有整数解(菇，y)=(一l，0)。 证明 因为(石+l，戈2一菇+1)=1或3，故方程(1)式给出下列4种可能的分解圳。 1)戈+l=417u2，X2-x+l=V2，，，2聊，(M，移)=l； 2)名+1=3u2，X2叫+1=139vz，y=聊，(Ⅱ，移)=l； 3)x+l=139u2，X2嘲+l=3v。，y=uv，(“，移)=1； o 4)石+l=M2，X2川+l=417v2，y=ttV，(Ⅱ，秽)=1 以下分别讨论这4种情形所给的(1)式的整数解。 2)将分解2)的第二式化为(2x一1)2—139(2v)2：一3，把分解2)的第一式代人得9(2u2 一3，所以3I口，从而有913，矛盾。所以该情形无(1)式的整数解。 所以3IⅡ。令“=3w，则有(2秽)2—3(834w2-1)2=l，从而有 Ez 12秽I+(834w2一1)幅=髫。+，，。彬=(2+√3)”，n 其中2+万为Pell方程X2—3y2=l的基本解，所以有834w2=y。+1。当2I，l时，2 2)， I以，则，，。+l三l(mod 而834w2-o(mod2)，矛盾。所以n聋±(mod4)。 当，l=4m一1时，有 即417w2=Y2。X2m—l。由于 · l-08-29 收稿日期：201 网络出版时间：2012J03一1419：27：00 作者简介：熊川，女，硕士研究生，研究方向为代数数论；通讯作者：罗明，E·mail：homin91958@126．corn 万方数据 重庆师范大学学报(自然科学版)http：／／www．eqnuj．cn 第29卷 (Y2。，菇2。一1)=(Y2。，2x2。一3y2。)=(y2。，2x2。)=(Y2。，2)=2 d)托。=278a2，菇2川=6b2。其中w=2ab。 (1)式的平凡解(石，Y)=(一1，0)。当m=l时，得Y2。=4代入Y2。=834a2不成立。 l，这不可能。 由b)得834264一j托2训=1，从而有3