关于有限群的正规指数Ⅰ.pdf

第2l卷第4期 湖南文理学院学报(自然科学版) Vbl-21No．4 ofArtsand 2009年12月 University Dec．2009 Jo——urnalo—f—Hunan Science(Natural—S—ci—e—nceEdition) doi：10．3969／j．issn．1672-6146．2009．04．003 关于有限群的正规指数 高辉 (大连水产学院理学院，辽宁大连，116023) 摘要：利用新的思路综合考虑极大子群的正规指数与c一 引理4【5】群G是可解的当且仅当它的每个极 正规或半正规，研究有限群的可解性和超可解性． 大子群在G中半正规． 关t词：ff-燃；c一．if-h；半正规；可解群；超可解群引理5f6】设M是群G的一个可解极大子群， 中目分类号：O152．1 文献标识码：A K是G的非可解正规子群使得G=MK，那么 K1． 文章鳊号：1672．6146(2009)04．0007．02 Mfq 2主要结果 l定义及引理 定理1有限群G是可解的充要条件是对于每 利用极大子群来讨论有限群的结构已有大量 个极大子群M或者膨在G中c一正规，或者 卵(G：M)=素数的方幂． 的结果．在文献[1】中，Deskins给出了极大子群正规 证明必要性显然，只证充分性．令G是一个极 指数的概念．此后，许多学者，如Beidleman和 小阶反例，下证G非单．假设G是单群。若对于G Spence：21、郭秀云【31等都在这方面做了大量的工作． 广为人知的结果有：有限群G可解当且仅当对于它 的每个极大子群M在G中C一正规，则G可解，矛 盾．故存在极大子群三使rl(G：三)=素数的方幂，而 的每个极大子群M，有叩(G：M)=lG：MI．群G是 超可解的当且仅当对G的每个有合数指数的极大 ，7(G：￡)=IGI=素数的方幂，则G可解，矛盾．令Ⅳ 子群M，，7(G：M)无平方因子．而王燕鸣在文献【4】是G的极小正规子群，下证G，Ⅳ可解．对于G，N 中证明了：群G是可解的当且仅当对于它的每个极 的每个极大子群M／N，则M是G的极大子群．由题 大子群在G中c一正规．在文献[5】中证明了群G是设知，叩(G：M)=素数的方幂或者M在G中c一正 超可解的当且仅当它的每个极大子群在G中半正 规，因N≤M，所以G／N满足定理的条件，故 规．本文自然将它们结合起来讨论群的可解性和超 G／Ⅳ可解，从而Ⅳ是G的唯一极小正规子群，且 可解性，得到了有限群可解或超可解的一些新刻画， Ⅳ非可解． 从而推广了文献[3．5】的结果． 令P是IⅣI的最大素因子，PeSyl。(Ⅳ)，由 文中所用符号皆为标准的，涉及的群指有限群． 定义l【lJ给个群G及其极大子群肘，令N／K小正规性得，M(尸)G．即存在G的极大子群 是G的一个主因子，满足G=MN并且Ⅳ有尽可能 小的阶．N／K的阶叫做M在G中的正规指数，记 作玎(G：M)． 幂，故Ⅳ可解，矛盾．于是M在G中c一正规，则 定义2【5】令H≤G，H叫做半正规的，如果存 在B≤G使得G=HB，且HXG，对任意XB． 定义3【4】令H≤G，H叫做c一正规的，如果