含参不等式恒成立问题解法漫谈.pdf

教学研究 新课程 NEW CURRICULUM 含参不等式恒成立问题解法漫谈 焦海廷 （河北省石家庄市矿区中学） 2 摘 要：含参数不等式的恒成立求参数范围问题常用解法：利用一次函数的性质去求参数；若二次不等式 ax +bx+c＞0（a ≠0 ，x ∈R ） 对一切实数恒成立，可由 Δ＜0 与 a＝0 ，a＞0 ，a＜0 结合求参数；若二次不等式在某一区间上恒成立，由二次不等式相应函数在这个区间上 的最值求解，即f （x ）≤a（或f （x ）≥a ）恒成立 f （x ） ≤a 或f （x ） ≥a 是分离参数后，利用函数在这一区间上的最值求解；非二次不等 max min 式在某一区间上恒成立，由不等式分离参数后，利用函数在这一区间上的最值求解；某些不等式恒成立问题可转换为求函数或不等式 的最值问题，由此来求参数。 关键词：含参不等式恒成立；分离参数；一次函数；二次函数；最值 “含参数不等式的恒成立”问题，是近几年高考的热点，涉及 例 3.（天津文 10）设f （x ）是定义在 R 上的奇函数，且当 x ≥0 一次函数、二次函数的性质、图像，渗透着换元、化归、数形结合、 时，f （x ）=x2 若对任意的 x ∈［t ，t+2 ］，不等式f （x+t ）≥2f （x ）恒成立， ， 函数与方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力，在培 则实数 t 的取值范围是 （ ） 养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用。 恒成立问题 A．［ 2 ，+∞） B．［2 ，+∞） 姨 在解题过程中大致可分为以下几种方法。 C．（0 ，2 ］ D．［- 2 ，-1 ］∪［ 2 ，0 ） 姨 姨 一、利用一次函数的性质去求参数。 2 2 2 解析：∵f （x+t ）≥2f （x ）即（x+t ）≥2x 例 1. 对于满足 p ≤2 的所有实数 p ， 求使不等式x +px+1