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【数理化研究】 ·关 注 · 对周期函数在教学中盲点的探究 甘肃 通渭 ●段伟军 周期函数作为函数中的～一类 ，在高考试题中几乎每年都出 f(x)的周期为4a的周期函数。 现，但高考得分率并不高，究其原因，是人教版数学课本对三角函 解析：(1)令x-xt—x2，则f_(x)=f：cx 《罄旨-_一fx(广x一x)， 数的周期性做了说明，一般的周期函数并未做大量的介绍，对其 中的一些重要性质只字未提，好多教师在课堂教学中恰恰忽视了 所以函数 “x)为奇函数，图像关于原点对称。 (2)要证fx+4a)=f(x)，先计算f(x+a)，f(x+2a)的值。 这一点，使同学们学完该内容后感觉茫然 ，一知半解，对周期函数 f-(-aa)f)_(x 的本质没有做进一步地了解。文章从定义语言的片面认识、周期 f(x (-a)]--f f)f+x11=普， 等式的定式记忆、函数图像的双对称性是周期的根源三个方面进 计算f(x+2a)=fx【+a]一(一a)代人①式 ，利用(2)的结果易证明。 行了探讨。 兰、函数的双对称性是函数周期性的根源 一 、 定义语言的片面认识 函数的双对称性是函数周期性的根源，同学们只了解表象， 周期函数的定义在高中课本中是指：对于函数fx)，如果存在 未做到刨根问底，高考好多题并没直接说明函数是周期函数，而 一 个非零常数T，使得当x取定义域中的每一个值时 ，都有fx+T) 是通过说明函数的对称性间接告诉考生函数具有周期性，可是考 = fx)成立，那么称函数fx)为周期函数，非零常数T叫ffx)的周期。 生不会通过抽象等式的变形来证明判断周期 ，为避免在客观题中 如果所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正 花大量时问证明，便于大家记忆，笔者推出三个性质和三个推论， 数就叫fx)的最小正周期。注意，函数并非一定有最小正周期，若 并证明。以后做题直接利用性质或推论。 T#O是f(x)的周期，则kT(k∈Z，k≠0)也一定是函数 f(x)的周期。 性质一：函数 fx)的图像同时关于直线x=a与x=b对称(ah】， 对于周期函数的定义，同学们常存在以下三个问题： 则函数fx)是以T=2b一2a为周期的周期函数。 (1)周期函数的周期能否是负数或者是分数?