广义Sobolev空间Wr2(T)在Sq (T)尺度下的概率与平均Kolmogorov宽度问题.pdf

2014年7月 四川师范大学学报(自然科学版) July，2014 ofSichuanNormal V01．37．No．4 第37卷第4期 Journal University(NaturalScience) 概率与平均Kolmogorov宽度问题 毕艳，、 陈广贵+， 徐艳艳， 甘 莹 (西华大学数学与计算机学院，四川成都610039) 摘要：考察了Sobolev空间中的函数在．s。(r)尺度下的逼近特征，研究了赋有高斯测度的广义Sobolev 空间职(T)在s。(T)(1≤g≤。。)尺度下的概率与平均框架下的宽度问题，并得到了概率与平均Kolmogorov 宽度的精确阶． 关键词：概率宽度；平均宽度；高斯测度；广义Sobolev空间 中图分类号：0174．41文献标志码：A 文章编号：1001—8395(2014)04—0487—06 doi：10．3969／j．issn．1001—8395．2014．04．008 1引言与预备知识 n的偏差为 e(x，F『v)， e(形，n，X)=suP 众所周知，计算机所使用的计算资源非常有 其中 限，因此，在解决问题的众多算法中寻求最小计算 ll e(x，FⅣ)=i《|l戈一Y 成本的算法就尤为重要．算法的误差和成本的不同 Y∈’N 定义导致了不同的框架(或称为计算模型)：最坏情 是n对戈的最佳逼近．因此，形在x空间中的Kol— 形的框架(或一致框架)、平均框架和概率框架．在 mogorovN一宽度定义为 最坏情形的框架下，成本和误差是通过函数类中的 Il， “最坏”的元素的特征来定义的．因此，在综合计算 其中，n取遍x中维数不超过Ⅳ的所有线性子空间． 成本的条件下，最优误差算法是对于“最坏”元素产 设形的子集B是由形中的开子集所生成的 生最优逼近，而对于大多数元素来讲，最优误差算 Borel域，p是B上概率测度，也就是说灿是B上的 法所产生的逼近误差可能不是最优的，为了解决这 0r一非负可加的函数，且肛(W)=1．记‘零∈(0，1)的 一问题，我们通常考虑在函数集上定义一概率测 任意实数，则形在x空间中关于测度p的Kolmog— 度，考虑其平均误差和概率误差．平均误差给出了 orov概率(Ⅳ，∞一宽度定义为 函数类在给定的测度下的逼近度的平均，反映了在 (1) d¨(W，肛，X)=infdⅣ(W＼G，X)， t,8 一定的计算成本下大多数元素的最小误差，它更为 其中，繇取遍曰中测度不超过6的所有线性子空间． 深刻地反映了函数类结构的本质特征．概率误差则 进一步给出了达到某个误差阶的元素在给定的测 P一平均Ⅳ一宽度为 度下的分布