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学案例 多角度多层次利用构造法解题 尹惠民 51 (广东珠海斗门区第一中学 广东珠海 9100) 摘要：在解题时，我们常常会采用这样的方法，通过对条件和结论的分析，掏适辅助元素．它可以是一个田形、一个方程(姐)．一个寻式． 一个函数．一个等价命题等，架起一座连接条件和结论的桥栗，从而使问题得以解决，这种解题的数学方法，我们称为构违法。 关键词：构造法 数学 解题方法 中图分类号；Gl 文献标识码：A 文章编号：1673--9795(2011)06(C)--0104--01 构造思想是中学数学中的一种重要解题思想，它贯穿于整个 符合条件的集合为这些集合及它们的并集，故可知A共有： 数学解题之中。巧妙的构造可以建立已知与未知、条件与结论、数 砖+《+碥+．．．+《=2卯一1个。 与形的体系，使本来模糊不清，扑朔迷离的关系豁然开朗，层次分 明。从而取得出奇制胜的效果。运用构造法解题，可以使代数、三 4构造向量 角、几何等各种数学知识互相渗透，有利于问题的解决。 向量融数形于一体，是解决数学问题的重要工具，根据函数的 形式，结构特征，巧妙构造向量町化难为易，获得新颖，快捷的解法。 1构造方程 例4：若a，b是正实数。且a+b=1，求证： 对形如ac—b20或ac一62=0或ac—b20的形式，可以利 25 · ． ． 用一元二次方程ax2+缸+c=0的判别式的解的情况联系起来，(口+2)2+(6+2)。≥—■。 将问题的形式转化，可能更易于处理。 例l：若{口。}是由正数组成的等比数列，鼠是它的前n项和，证 明：最·最+2最+12。 a(O≤口≤万) 解：构造一元二次方程 S．x2+2S．+lx+S。+2=0 ① ·．，降厄面丽，阼压 由题意可知最0要证最。瓯+2最+12 只须证(2￡。)2—4S．·S棚0 ② ．·．m一-二=Imll二lcosa=瓜五再面虿·压。璐口 只要方程①有两个不等的实根 (1)当q=1时，不妨令aI=1，则①变为： ≥5 ． ． 25 ，Ⅸ2+2(n+1)x+(疗+2)=0即[城+Q+2)】O+1)=O可知方 程①有两不同的实根。 ·‘·(口+2)2+(6+2)2≥i (2)当q≠l时，方程①可变为： ，显 (1-q4)工2+2(1-q”“)x+(1-q“+2)=o即(x+D2一g“(x+g)25构造实际模型 然它也有两相异实根。 例5：若r≥l且为整数，求‘+屯+…+磊《r的非负整数解的 故式(2)成立，原命题得证。 组数。 I瞬：’．‘而+屯+…+％≤，． 2构造函数 由题设条件及所给的数量关系，构造一种新的函数使问题在 入n+1个盒子，盒子可空。 新的关系下实现转化，从而获得解决的方法称为构造函数法。