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如何在高中数学解题中有效运用向量 ■谈晓辉 平面向量是高中数学的内容，是近几年高考中的一个重 先假设窟：口，五方：西，那么赢：n D C 点．向量是数形结合的产物，既具有代数的抽象性和严谨性，又 +6，蔚：b一口，于是题目中求证的结果 具有几何的直观性，在用向量解题时，充分运用数形结合思想， 2十Ib一口I 就转化为：I口+6 2=2(a2+4 能将复杂问题简单化． 西2)；通过运算，很快就可以证明前面等式 图1 一、向量在代数中的应用 的正确，证明结果．在这个平面几何结论 用向量解决代数中的问题，主要是用在等式不等式证明 的证明题中，方法很多，比如，坐标法也是常用的一种证明方 题、函数极值求解、线性规划等方面．虽然用向量可以简化复杂 法，但是却不如向量法来得快捷简便．在这里，建立起平面几何 且抽象的代数题目，但是却没有固定的应用方法，一般是将数 图形与向量之间的关系，将平面几何问题迅速转化为向量问 转化为向量，运用向量的数量积或是将其放在几何图形中利用 题，然后通过向量的运算得出几何元素之间的关系，最后，再将 图形间的相互关系来解决问题．由于思维转化强度大，且关键 运算结果转化为几何关系． 在于如何将数转化为向量，对学生的想象力要求较高，最后还 三、向量在立体几何中的应用 要将向量语言转化成代数语言，其实就是一个数一向量一数的 在立体几何题目解题中，空间向量的有效运用能合理处理 转化过程． 空间线线、线面、面面的位置关系以及夹角等，能使立体几何问 例l 题更加清晰，避免了立体几何题目中做辅助线的求解方法．利 设口、b为不相等的实数。厂(戈)=~／l+算2，证明： I． 用空间向量来证明空间线线、线面、面面平行问题是近年来高 I，(Ⅱ)-f(b)II口一b 在这个题目中，学生的思路一般可以分成三种类型：一种 考的重点考察内容，考察方式多种多样，一般采用探索问题、平 是运用两次平方分析；一种是由根号内的线性特征，联想到向 行问题、空间角相结合的方式． 量的概念，构造向量，将证明结果转化为向量表达式，揭示出两 例3 在正方体ABCD—AlBlClDl中，E 向量和与差的模与向量模的和与差之间的不等关系．最后一种 为DD，的中点，在棱c。D，上是否存在一个F 是由根号内的线性特征联想到两点间的距离公式，构造出点坐 点，使得BlF与A。BE平面平行，证明结论． 标，最后将证明结果转化为平面上三点间的不等关系，揭示出 在这个题目中，很容易建立坐标系，建 两线段之和(差)大于或等于(小于或等于)第三线段的长．在立一个以A为原点的坐标系，并设正方体的 这三种思路中，第一种是纯粹的处理绝对值与根号的代数方 棱长为2，得出曰、E、A。、B，这四点的空间坐 图2 --—_————-_ 法，非常复杂；而后两种都是数形结合思想，挖掘问题的特殊 标．因为：曰E=(一2，2，1)，BAi=(一2，o， 性，后面两种方法的解题原理是一致的．在这里，运用向量解题 的步骤是：根据已知条件将求证结果转化为向量表达式，接着 应用向量运算和向量的性质，最后将结果转化为题目中求证的 (1，÷，一1)．