实例分析辅助圆在初中数学解题中的应用.pdf

20I4年第7期 ■王驰 圆作为初中数学内容的重要组成部分，加上自身具有的特 殊性质，可帮助学生解决初中数学问题．圆是特殊的平面曲线 图形，其特殊性质是初中数学的重要内容．在初中数学解题中， 常常遇到一些用常规方法无法解决的问题，看似与圆无关．但 是若能构造适当的圆形加以辅助，能够使复杂问题简单化，抽 象问题形象化，进而快速解决问题．简而言之，辅助圆在初中数 学解题中起着“搭桥铺路”的作用． 一、构辅助圆求直线方程 直线方程是初中数学内容的重要组成部分，由平面直角坐 标系中的二元一次方程所表示的图形．相对而言，初中的直线 方程求解较简单，没有高中那么复杂．但学生采用常规的解题 方法往往较困难，且浪费时间，挫伤学生解题积极性．因此，通过 构造辅助圆，能够将复杂问题简单化． 例l 已知过圆外一点P(2，4)作一圆C：(算一1)。+(Y一 LABD=LDBC．以BD为直径做辅助 1)2=1的两条切线为黝、册，其中A、B为切点，求A曰的直线方 图3 圆，并交于曰c于层点，连接腿根据圆 程． 周角所对应的弧相等，可得：AD与DE的弧长相等．由于四边形 解析：本题若从切点坐标着手，然 后求直线方程，其计算量相对较大，学 生也难以解答．因此，通过构辅助圆利 用切线，使两相交的圆方程相减，进而 1 得到直线AB的方程式．如图l所示．以 ‘ P点为圆心，以黝长为半径做圆P与 图l 圆C相交于A、口点．由于切线PA垂直 +￡C+LA=180。，所以：￡A=1000 于“，且PC=／而，可得： 四、构辅助圆证三角形相似性 (1) 三角形内容在初中数学内容中占有较大比重，是学习其他 PA=~／Pc2一Ac2，圆P：(算一2)2+(Y一4)2=9 平面图形的基础．证明两个三角形相似性是常见的问题，一些简 又因为：A、曰两点均在圆C：(髫一1)2+(Y一1)2=l上(2) 所以：(1)一(2)可得到AB的直线方程为z+3)，一5=0．单的三角形证明学生较容易证出，但对于复杂的三角形相似性， 二、构辅助圆求线段长度 学生若采用常规方法较难证明．因此，可通过构造辅助圆，利用 线段长度在初中数学解题中也较为常见，主要利用共同端 圆周角与圆心角之间的关系，进而为三角形相似性证明提供条 点的几条线段相等，以该端点为圆心，并以等线段的长作为半 件，利于学生快速解答． 径，进而构造出辅助圆，最后利用圆形的性质求解． 例2如图2所示，在四边形ABCD中，AB／／CD，且AB=AC 叵 =AD=5，BC=／万，求取BD的长度． 4 BD． 解析：以A为圆心做圆A，A到B、c、D三点的距离相等，即 圆A的半径，且日、C、D三点均在圆A上．延长鲋到E点，连接 解析：以AABC中一点A为圆心，以A曰为半径做圆A，则 E1)．因为：AB／／CD，圆周角所对应的弧相等，所以：ED与BC的 万方数据 数理化学习m申剐 初