悬索非线性动力学中的直接法与离散法.pdfVIP

第37卷第3期 力 学 学 报 V61．37．NO．3 2005年5月 ACTAMECHANICASINICA May,2005 悬索非线性动力学中的直接法与离散法D 赵跃宇2)王连华刘伟长周海兵 (湖南大学土木工程学院，长沙410082) 摘要以悬索为例对结构非线性动力学中直接法与离散法的应用进行了研究．针对悬索面内运动的第n阶模态 的主共振，分别利用这两种方法对悬索的非线性响应进行求解，得到悬索非线性响应的二次近似解以及相应的 幅频响应曲线，并比较和讨论了这两种方法得到的结果及其差异．通过分析得知：离散法在用于非对称结构非 线性动力学的求解时可能导致错误的结果． 关键词 直接法，离散法，悬索，非线性响应，多尺度法 中图分类号：0322文献标识码： A 文章编号：0459—1879(2005)03-0329-10 引 言 有限维Galerkin模型的离散法和直接法进行对比研 分布参数结构的动力学是由一组偏微分方程及 及边界条件进行直接摄动可以得到和实验相一致的 相应的边界条件所确定．这些结构的非线性既可出 结果，相反利用有限维Galerkin模型的离散法可能 现在偏微分方程中，也可出现在边界条件中，或者 导致错误的结果．Rega等[5]同时利用了离散法与 兼而有之．结构动力学的主要目的是求解这组方程 直接法研究了悬索的多重内共振情形，他们的结果 及相应的边界条件．一般来说，分析求解这些结构 表明四自由度Galerkin模型得到的结果与直接从运 的非线性响应必须借助各种数值方法．然而当非线 动方程进行求解得到的结果不一致，同时可能得到 性为弱非线性时，可以利用各种摄动法得到结构的 不同的分岔形式． Rega等【6】对考虑主共振情况下 近似分析解． 屈曲梁以及悬索的Galerkin离散模型的收敛性进行 了研究．他们利用直接法和离散法对这两种结构的 从数学的角度上看，在利用基于Galerkin法和 摄动法的离散法求解非线性响应时必须用一组完备 主共振响应进行了求解，结果表明控制参数在一定 而且要满足边界条件的基函数，以构成一完备的Ba- 范围内利用单自由度模型离散法会低估平方非线性 的软化作用，相反多自由度模型可以得到比较精确 nach空间(通常选用结构的线性模态作为基函数)． 然而，这一点在结构动力学的实际求解过程中做不 的结果．然而取高阶模态时，单自由度模型的离散法 到，也没有必要．因此通常的办法就是只用几个基 与直接法得到的结果差别不大．对比Rega等吲的 函数(线性模态)对连续系统进行离散，得到有限维 结果可以发现这两种方法的应用与模态的选取有很 离散模型．但由此带来的一个问题是这样做的误差 大的关系，因此有必要重新评估这两种方法在不同 有多大?有没有相反的结论出现?20世纪90年模态之间的应用情况．最近，Arafat等川研究了选 取的模态数对悬索非线性响应的影响．尽管进行了 代，Nayfeh等【1】对这些问题进行了深入研究，同 时建立了基于偏微分方程直接求解的直接法．这种 不少的研究，但两种方法得到的误差到底有多大， 方法直接对运动方程以及相应的边界条件进行摄动 仍然没有定性的结论． 求解，而不需要进行空间离散，因此巧妙地解决了 由于垂度的存在，悬索是一种含有平方非线性 离散过程中基函数的选取问题．后来他们又证明了 和立方非线性的典型结构，本文以这种结构为例，就 这种方法与对无穷维Galerkin离散模型进行摄动求分布参数结构中