第二型曲面积分的计算.pdf

第34 卷 第8 期 湖南科技学院学报 Vol.34 No.8 2013 年8 月 Journal of Hunan University of Science and Engineering Aug.2013 第二型曲面积分的计算 赵艳辉 （湖南科技学院数学与计算科学系，湖南 永州 425199） 摘 要：文章从第二型曲面积分的定义、两类曲面积分的关系、积分曲面的对称性和高斯公式等方面探讨第二型曲面积 分的一题多解问题，有助于进一步理解第二型曲面积分和重积分之间的关系。 关键词：第二型曲面积分；对称性；高斯公式 中图分类号：O172 文献标识码：A 文章编号：1673-2219 （2013）08-0005-04 第二型曲面积分的计算是数学分析课程的难点之一，本文通过一道习题对第二型曲面积分的计算进行了较为全面的讨 论，便于加强积分学知识之间的联系。 例 1 计算积分 ， 为球面 ∫∫（x + y ）dydz + (y − z )dzdx + (z + 3x)dxdy ∑ ∑ x 2 + y 2 + z 2 R 2 ，取外侧。 １ 根据第二型曲面积分定义化为二重积分计算 计算∫∫Pdydz + Qdzdx + Rdxdy 时通常分开计算三个积分 ∑ ∫∫Pdydz ,∫∫Qdzdx,∫∫Rdxdy ∑ ∑ ∑ 为此分别把曲面 投影到yoz 面、zox 面、xoy 面上化为二重积分来进行计算，投影域的侧由曲面 的方向决定。 ∑ ∑ 解：对积分∫∫（x + y ）dydz ，分别用∑前和∑后记前半球面和后半球面的外侧，则 ∑ 2 2 2 2 2 2 ∑ ：x R − y − z ，D : y + z ≤ R 前 yz 2 2 2 2 2 2 ∑ ：x − R − y − z ，D : y + z ≤ R 后 yz 所以 ∫∫（x + y ）dydz ∫∫ + ∫∫ ∑ ∑ 前 ∑ 后 R 2 − y 2 − z 2 + y dydz + − R 2 − y 2 − z 2 + y −dydz ∫∫ ( ) ∫∫ ( )( ) D D yz yz 收稿日期：2013 －05 －08 基金项目：湖南省教改课题 （[2012]401 号，序号：428 ）。 作者简介：赵艳辉（1969－），女，湖南沅江人，副教授，主要从事函数论与数学