拓展思维,简洁直观——例谈向量法在高中数学解题中的妙用.pdf

教材 教法 教学导航 2014年3月 拓展思维一简洁直观 ——例谈向量法在高中数学解题中的妙用 ⑩浙江省天台平桥中学 陈晓敏 向量作为一种新型的解题工具，在众多数学问题中 所以A曰·(?D=cosdcoq斛sindsi衅 有十分广泛的应用．除了在空间立体几何中的广泛应用 设向量A日与cD的夹角为口，则cos臼=cos(仅—口)． 外，笔者也发现在解析几何、不等式、代数中，也能找到 它的影子．向量法解题具有应用方便、简洁直观的特点， 由。。。p：≤当婴：c湖c。印+sina。i够， 能很大程度上降低运算能力要求、开阔思维、拓展思路， IAB|．1CDI 教师在平时训练时，若能着重引导学生用向量法解决类 即得cos(a]8)=cosaco够+sindsi啦 似于上述提到的相关问题，则能轻松解决．现结合例子， 点评：抓住向量数量积的结构特点，构造向量． 就如何妙用向量法解决相关问题，谈谈笔者的见解． 3．用向量法证明三点共线 例3在平行四边形ABCD中，M是A曰的中点，Ⅳ是 一、向量法在证明中的运用 曰D上一点，BⅣ=÷BD．求证：肘、Ⅳ、c三点共线． 1．用向量法证明不等式 证明：谢D=n，A曰=6， 例1试证不等式：(∞+6d)2≤(口2+62)(c+扩)． ————}———÷ 证明：设向量伽=(o，6)，D曰=(c，d)， 则赢÷商+÷面=吉(勉柏)． ———4———4———o．--o d． 所以10Al-、‘万鬲了，10BI-、丘砑，则0A·0B=nc+c ——+———’——_+—} 又因为肘仁／l循+曰仁÷(物枥)，所以肘c=3JI矿Ⅳ 又因为(OH·OB)2≤l嬲12lDBl2， MN． 所以(伽+6d)2≤(孑+62)(c2+d2)． 既以MC?7 点评：本题结论亦称柯西不等式，等号只有在向量 故M、Ⅳ、C三点共线． ———o}———} 点评：充分利用三点共线和两个向量共线(平行)的 0A、0B共线时成立． 关系． 2．用向量法证明等式 4．用向量法证明垂直 例2 试证：cos(仪书)=cosaco驴+sindsi啦 ——4——+ 证明：设向量4B=(cosd，sind)，CD=(co$，si邮)， 线相交于A、B两点，自A、B向准线作垂线，垂足分别为C、 留给学生足够的时空，放手让他们多点思考、多点尝试、 l一夥 、／1机2、／1+f 、 o 多点琢磨．当然，从高中、大学数学知识出发，上述数学 足专=订测烈黔2一陋：半) 问题会有更多样的简明解法． 2．(2013年清华大学保送生考试题)已知曲c=一1，兰