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教材之中有根尺各自量身各自知 ——圆锥曲线弦的中点在解题中的应用 ◎江苏省如东高级中学吴晔 新课标明确指出：数学教育的基本目标之一是提高学 所在直线的方程．(解法略) 生的数学思维能力．实践表明让学生掌握一类问题的思考 高考命题的重要思想之一“源于课本，高于课本”，因 模式、解题步骤，特别是在解题后进行多角度“变式训练”， 此教学中教师要引导学生在做好课本典型例题或习题的 那么学生再遇到相关问题时，就不会感到无从下手．教材是 基础上尝试让学生改编限定条件，再深入思考．这不仅可 历代教育专家智慧的结晶，其中的例题或习题都极具典型 以提高学生学习数学的兴趣，而且可以提高学生主动学 性、代表性，因此教师在讲解教材中的例题或习题时，应注 习、合作学习、探究学习的能力，活跃他们的思维，培养他 意对相关问题的变式或拓展，将杂乱无章的解题思路归纳 们的创新能力． 成类，进而形成知识体系．使学生会一题通一类，真正跳出 在历年各省市高考命题中涉及弦的中点问题屡见不 题海．本文以课本圆锥曲线习题为例，谈谈这方面的体会． 鲜，相关问题求解中抓住弦的中点，是解决问题的关键所 题目一：(苏教版选修2—1第73页复习题第10题) 在．下面是几个相关的高考变式． 土 已知双曲线zLy．-=l，过点P(1，1)能否作一条直线f 一、巧用中点的条件。考查思维的灵活性 2 交双曲线于A，B两点，使助线段AB的中点? 变式1：(2012年高考(浙江理) J 、， f 解法一：先设出直线方程，考虑到当斜率不存在时直 扩、＼， 21题)如图，椭圆c：等+丢=1(n 线f：戈=l，与双曲线没有两个交点，不符．斜率存在时，可设 a。 D一 。I／＼ ／％1。 直线方程为Y—l=k(x一1)，代入双曲线方程化简得： 6o)的离心率为÷，其左焦点到点艇 (2-k2)x2-2k(1-k)z一(1-k)2—2=0，设A(戈l，y1)，B(X2， 、乡j P(2，1)的距离为、／而．不过原点0 )，：)，则XI拟：=等安』熹=2，解得后=2．检验可发现此时△0，此 LZ一疗。J 的直线f与C相交于』4，B两点，且线段4日被直线Op：耳z分． 直线不符合题意，即没有这样的直线满足题目要求． (I)求椭圆C的方程； 解法二：(点差法)谢(X1．．y。)，B(x：，Y：)，将两点坐标代(Ⅱ)求AABP的面积取最大时直线f的方程． 1 入双曲线方程相减可得(戈。叫。)(z。慨：)一_1(yl-y：)(yt够：) Z 解析：(I)所求椭圆c的方程为．-xA．+等=1． 叶 J =0，设直线AB的斜率为k，因戈．≠戈：，在上式两边同除以