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·应用研究· 彭威翟建军陈文亮 曲面上曲线的精确及近似求解法 65 曲面上曲线的精确及近似求解法 彭威，翟建军，陈文亮 (南京航空航天大学机电学院，江苏南京210016) 摘要：在计算机辅助几何设计领域，曲面上曲线是非常重要的一个元素。鉴于它的重要性，提出 了一种计算曲面上曲线的方法。在求出曲面上曲线后，利用曲线逼近的原理，再求出曲面上曲线 的近似解。 关键词：B样条；曲面上曲线；近似；解法 中图分类号：四391 文献标识码：A 近年来，B样条和NU砌3S成为曲线曲面最流基函数，它们分别是由“方向和砂向的节点矢量 行的描述形式，许多自由曲线曲面都能用B样条 L={“o，…，“女，…，“。+女}和L={可o，…，铆^， “ “ “ V 或NURBS来表示。然而，随着曲面复杂性的增 Cox递推公式决定的。 …，铷。+^}按de—BoOr 加，曲线曲面的形状设计通常无法一次完成，这就 需要对这些曲面进行后续处理，诸如曲面与曲面的 2精确计算曲面上曲线 求交、曲面的变形等等。在这些后续操作中曲面上 2．1 曲面上曲线的数学定义 的曲线起到了非常重要的作用。另外在一些CAD 造型系统中，如果能直接求出曲面上曲线是非常有 首先，给出曲面上曲线的一般表示形式。假设 用的。例如设计轮胎时，直接在轮胎上面设计花 纹，可以提高轮胎质量。目前大部分G如系统一 “，u∈[0，1]是参数平面，在(“，口)平面内，有曲线 般都采用插值的方法来构造在曲面上保持G1连 乱=“(￡)，可=口(￡)，￡∈[口，6]，将其代人上面的 续的曲面上的曲线，但这种方法并不能完全表达出 曲面方程，得到曲面上的曲线C：r(￡)=(z(“(￡)， 曲线跟曲面的关系，在实际应用中有一定的局限。 因此本文结合曲面上曲线的应用，提出了一种精确 计算曲面上曲线的方法以及在此基础上求曲面上 口=u(￡)是参数域曲线，曲面上的曲线C可以看 曲线近似解的方法。 着是参数域曲线在曲面，(“，口)上的映射[2|。 2．2曲面上曲线的精确表达 1 B样条曲面方程 曲面上的曲线可精确表示为： B样条曲面为标准曲面和自由曲面提供了统 一的数学表达式，大量应用在C岫／CAI、d领域和 ”“一htJ一1 (2) 图形学领域。一张志。×忌。次B样条曲面定义如 善善M一。(D“(￡))H，^。(耽(￡))s¨ ～一1 下[1]： D(￡)=蛋N壤，(￡)，f (3) ”“一lnl，一1 式中：D(￡)是次数为愚d的参数域平面曲线，节点 P(“，u)2磊蚤NⅢ。(“)H一。(u)Js¨(1) 矢量为乃={￡o，￡1，…，如，…，￡。．+^，}；D。(￡)， 式中：sf，i=[z4，yi，z{J(i=o，1，…，，z。一1；歹=o， 1，…，，z。一1)，是控制顶点，呈拓扑矩形阵列，形成 D：，(￡)是参数域曲线D(￡)在M，勘方向上的分量。 一个控制网格；Nm(“)和Nm(u)分