极坐标系下泊松方程的拟谱方法.pdf

第24卷第2期 空气动力学学报 V01．24。No．2 ACTA 2006年06月 AERoDYNAMICAS”旺CA Jun．，2006 文章编号：0258．1825(2006)02．0243．03 极坐标系下泊松方程的拟谱方法 麻剑锋，沈新荣，章本照，陈华军 (浙江大学力学系，流体工程研究所，浙江杭州310027) 摘要：极坐标系下的泊松方程，由于坐标原点的奇异性，给谱方法的实施带来了很大的困难。本文提出了一种新的 内。通过对配置点及空间导数矩阵的处理，成功解决了坐标奇异问题。同时也避免了配置点在原点附近的集中， 极大改善了矩阵条件数，减小了舍入误差，从而提高了解的精度。数值实验表明，该方法具有很高的精度。 关键词：拟谱方法；配重点；泊松方程 中圈分类号：0351 文献标识码：A 方向采用特殊的Fourier配置点，以避免配置点之间 0 引 言 泊松方程的求解在计算流体力学中有着重要的 在边界点附近聚集。与Chen等[5】的方法相比，该方 地位。用算子分裂法求解非定常N．s方程时，其压力 法的条件数得到明显的改善。数值结果表明，该方法 就由泊松方程求得。在电渗流中，外加电场也由泊松 具有很高的精度。 方程控制…。此外，泊松方程作为许多物理问题的模 1数值方法 型方程在等离子物理【2j、等离子工程L31中有着广泛的 应用。以往泊松方程大都通过有限差分或有限元求 考虑如下的极坐标系下的泊松方程及边界条件： 解，本文将采用一种新的拟谱方法来求解。 r2生3r2+r盐8r+象叫删 谱方法是一种与有限差分和有限元并列的数值 方法，由于其具有后者无法比拟的“无穷阶”的收敛速 0≤r≤1，0≤0≤2，r (1) 度而受到研究者的青睐。在极坐标系中用谱方法来 边界条件：当r=1时，P=g (2) 求解泊松方程，最大的问题就是坐标原点的奇异性。 式中，八r，0)和g都为已知量。在r方向，采用标准 的Gauss．1J0batto配置点： 当r一0时。方程中的1／r、l／r2项会逐渐趋向无穷 大，这往往会导致方程的收敛速度变慢甚至破坏解的 勺：c。s垃舻，．『：”一，N+l(3) 精度。已有文献对于坐标奇异性的处理大致可分为 取Ⅳ为奇数，则在径向有偶数个配置点，此时配置点 两类。一类是对坐标原点提额外的“极条件”HJ。另 不包含坐标原点，这样就避免了坐标原点奇异问题。 一类是在径向采用Gauss．Radau配置点，该配置法可 以将r=0的点排除在外，Chen等Lsl用该配置法求解 了极坐标系和柱坐标系下的泊松方程。虽然Gauss． 的显式表达式如下： Radau配置点把r=0点排除在计算区域之外，但是 却导致了配置点在原点附近的聚集。这会使得求解 D：：而r～；D；：Tb2T一1(4) 矩阵条件数变大，从而导致舍人误差的增大。 式中， 本文提出一种拟谱方法，该方法的一个显著特点 是r∈[一1，1]，而不是其它谱方法所采用的r∈[0， i，_『=1，…，Ⅳ+1 (5) 1]。在径向采用标准的