《信号与系统》第九章拉普拉斯变换【最经典的奥本海默信号与系统课件,PDF版】.pdf

第9章 拉普拉斯变换 The Laplace Transform 本章基本内容： 1. 双边拉普拉斯变换； 2. 双边拉普拉斯变换的收敛域； 3. 零极点图； 4. 双边拉普拉斯变换的性质； 5. 系统函数； 6. 单边拉普拉斯变换； 9.0 引言 Introduction 傅里叶分析方法之所以在信号与LTI 系统 分析中如此有用，很大程度上是因为相当广 泛的信号都可以表示成复指数信号的线性组 合，而复指数函数是一切 LTI 系统的特征函 数。 傅里叶变换是以复指数函数中的特例，即 j t ? j n? 以e 和e 为基底分解信号的。对于更一 st n 般的复指数函数 e 和 z ，也理应能以此为 基底对信号进行分解。 将傅里叶变换推广到更一般的情况就是本 章及下一章要讨论的中心问题。 通过本章及下一章，会看到拉氏变换和Ｚ 变换不仅具有很多与傅里叶变换相同的重要 性质，不仅能适用于用傅里叶变换的方法可 以解决的信号与系统分析问题，而且还能解 决傅里叶分析方法不适用的许多方面。拉氏 变换与Ｚ变换的分析方法是傅里叶分析法的 推广，傅里叶分析是它们的特例。 9.1 拉普拉斯变换 The Laplace Transform s t 复指数信号 e 是一切连续时间LTI 系统的 特征函数。如果LTI 系统的单位冲激响应 为h t ，则系统对 es t 产生的响应是: ? y t H s est 其中 H s ???h t e?stdt 显然当 s j ? 时，就是傅里叶变换。 一.双边拉氏变换的定义： ? X s ???x t e ?stdt 称为 x t 的双边拉氏变换，其中 s ?? j? ? 0 s j ? 若 ， 则有: ? X j ? ???x t e ?j ?t dt 这就是 x t 的傅里叶变换。 即：CTFT是双边拉普拉斯变换在 ? 0 或是 在σ，ω复平面上的j ω轴上的特例。 ? ? ? ? ? ? 由于X s ???x t e ?te j?tdt ???[x t e ?t ]e j?tdt F[[x t e??t ] x t 所以拉氏变换是对傅里叶变换的推广， 的拉氏变换就是 x t e ??t的傅里叶变换。只 ? 要有合适的 存在，就可以使某些本来不满 ??t 足狄里赫利条件的信号在引入 e 后满足该 条件。即有些信号的傅氏变换不收敛而它的 拉氏变换存在。 拉氏变换比傅里叶变换有更广泛的适用性。 x t e?atu t 例1. 求它的傅立叶变换和拉氏变换 说明：一个连续信号如果存在傅立叶变换， ? 这个信号必须绝对可积，即 x t dt ? ?? ? ?? a ?0 x t 在此例中，要求 ， 才有傅里叶变换： ? 1 ? ? X j? e ate j?tdt ? a ?0 0 a?j? ? ? X s x t e dt e u t e dt ? ?st ? ?at ?st ?? ?? s ? j ?? ? ? at ? j? t a t ? j t ? ? ? ? ? ? ? e e dt e e ?0 dt ?0 1 1 ，?? ? a j a ? s ?a? ? ? 1 ?at ?? e u t ? s ，Re a? ? 即 s a ? a 0 If 时， 可知 ?? Re s ?0 例2. x t ??e?at u ?t 求信号的拉氏变换 要求 a ?0 ，信号 才有傅立叶变换存在 ? s ?j ?? 0 ? ? ? ? ? at st a t ? j t ? X s e u t e dt e e ?dt ???? ??? ?要求a ?? ?0时，积分式才收敛 1 1 X s ，??? a j a ? s ?a?? ? 即 分析： 1、比较例1和例2的两个信号，它们的拉 氏变换的代数表示式是一样的，但使这 个代数表示式成立的S域却不相同。 结论：给出一个信号的拉氏变换时，代 数表示式和使该表示式成立的变量s的范 围都应给出。 2 、拉氏变换与傅里叶变换一样存在收 敛问题。并非任何信号的拉氏变换都存 在，也不是 S 平面上的任何复数都能使 拉氏变换收敛。 3 、使拉氏变换积分收敛的复数 S的范 围，称为拉氏变换的收敛域 ，简记为 ROC 。（Region of Convergence ） 4 、不同的信号可能会有完全相同的拉氏 变换表达式，只是它们的收敛域不同。 5、只有拉氏变换表达式连同相应