第三章 固体物理基础7.5.ppt

若ω＝ω＋，当ｑ→０时， 也即ｑ→０ ? mA++MB+=0，表明原胞质心保持静止。若是离子晶体，在电场作用下异号离子受力相反，可用光波来激发离子晶体中的这种长波振动。 前者是相邻原子振动方向相同，波长很长时，格波为晶胞中心在振动，可以看作连续介质的弹性波； 后者是相邻原子的振动方向相反，波长很长时，晶胞中心不动，晶胞中的原子作相对振动。 声学波与光学波的区别 §7.5 晶格振动和声子 2 周期性边界条件 1 一维单原子晶格的振动 3 晶格振动量子化 声子 4 一维双原子晶格的振动 5 声学波和光学波 了解晶格中原子的微振动和声子的概念 了解一维单原子晶格（布拉菲格子）的振动和一维双原子晶格（复式格子）的振动 学习要求 1. 一维单原子晶格的振动 原胞中只含有一个原子，整个原子平面作同位相运动。且每个原子都具有相同的质量m；晶格常数(平衡时原子间距)为a，热运动使原子离开平衡位置μ 。 n-2 n-1 n n+1 n+2 n+3 μn-2 μn-1 μn μn+1 μn+2 μn+3 1) 研究的体系 2) 原子的位移 设 μn为第n个原子相对其平衡位置的位移，即第n个原子的绝对位移，向右为正，向左为负，因此，第 n个原子相对第n+1个原子间的位移是： μn – μn+1 同理第n个原子相对第n-1个原子间的位移：μn–μn-1 n-2 n-1 n n+1 n+2 n+3 μn-2 μn-1 μn μn+1 μn+2 μn+3 = δ 3) 近似条件 近邻作用近似：仅考虑最近邻原子间相互作用； 简谐近似：当温度不太高时，原子间的相对位移δ 较小，互作用势能在平衡点 a处泰勒展开式中可只取到二阶项，而舍去更高阶项。 4) 受力分析 式中r =a+δ，δ为原子间的相对位移(μn–μn+1)。 两原子间的相互作用势能在平衡位置附近以泰勒级数展开，可得到： 在平衡位置，势能为极小值? 上式对δ微分： 则原子间相互作用力（μ→r =a+δ,△μ→δ） 因此在简谐近似下，原子间的相互作用类似于一个弹簧振子。一维原子链是一个耦合谐振子，各原子的振动相互关联传播形成格波。β称为弹性恢复力系数。 格波：晶格中的所有原子以相同频率振动而形成的波，或某一个原子在平衡位置附近的振动是以波的形式在晶体（晶格）中传播形成的波。 一维单原子链谐振子示意图 只考虑最近邻原子的相互作用时，则第n个原子的受力情况为： 5) 简谐近似下的运动方程 第n+1个原子对第n个原子的作用力： 第n-1个原子对第n个原子的作用力： 由于原子间的作用力类似于弹簧谐振子，其服从 牛顿定律，因此可得第n个原子的牛顿运动方程： 晶格中每一个原子都有一个类似的方程，n共可取N个值，故该式实为N个方程组成的线性齐次方程组，可有N个解，也即晶体的总自由度为N。通常采用试解的方法求解上述方程。 上式表示平衡位置在 y =na处原子的振动，q称为格波波矢：q =2π/λ； 正q对应于沿+μ方向前进的波，负q 对应沿-μ方向的波，这种在晶体(晶格)中传播的波，即为格波。 一维单原子晶格中所有原子均以相同的频率和相同的振幅振动。 考虑上述方程具有简谐波形式的试解： 每一支格波与一个振动模式(声子)一一对应 6) 格波的色散关系 将试解代入运动方程： 上式为一维简单晶格中格波的色散关系(频率ω和格波波矢q的关系)，也称频谱关系。ω~q的关系为周期函数。 色散关系具有周期性，常将q限制在 称为简约区(第一布里渊区)范围 0 q 一维单原子晶格振动的色散关系 ?max=2(β/m)1/2 0 q 第一布里渊区 １ ?(q)= ?(q+2?/a) 波矢空间具有平移对称性,其周期为第一布里渊区边长 2. 周期性边界条件 考虑有限长的一维原子链，由 N 个原子组成，另有无穷多个相同的一维原子链与之联结而形成无限长的一维原子链，各段相应原子运动情况相同。 式中L=Na，s为整数，共有N种不同的取值。 说明波矢空间中，一个q对应一个振动模式，振动模式是均匀分布的，q只能相隔2π/L的分立值。 两个波矢间隔 第一布里渊区的尺度为 第一布里渊区内的波矢数目 晶格振动波矢的数目=晶格原胞数 红线：q=5?/2a, ?=4a/5 两相邻原子振动的位相差是aq=2?+ ?/2。 绿线：q=?/2a，?=4a 两相邻原子振动的位相差是aq=?/2。 波矢q=?/2a原子的振动可以当作波矢q =5?/2a的原子的振动（q-q=2