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常用的巧算方法 　　【顺逆相加】用“顺逆相加”算式可求出若干个连续数的和。例如著名的大数学家高斯（德国）小时候就做过的“百数求和”题，可以计算为 　 　　所以，1＋2＋3＋4＋……＋99＋100 　　=101×100÷2 　　=5050。 　　又如，计算“3+5+7+………＋97+99=？”，可以计算为 　　 　　所以，3+5＋7＋……＋97+99=（99＋3）×49÷2= 2499。 　　这种算法的思路，见于书籍中最早的是我国古代的《张丘建算经》。张丘建利用这一思路巧妙地解答了“有女不善织”这一名题： 　　“今有女子不善织，日减功，迟。初日织五尺，末日织一尺，今三十日织讫。问织几何？” 　　题目的意思是：有位妇女不善于织布，她每天织的布都比上一天减少一些，并且减少的数量都相等。她第一天织了5尺布，最后一天织了1尺，一共织了30天。问她一共织了多少布？ 　　张丘建在《算经》上给出的解法是： 　　“并初末日织尺数，半之，余以乘织讫日数，即得。”“答曰：二匹一丈”。 　　这一解法，用现代的算式表达，就是 　　 　　1匹=4丈，1丈=10尺， 　　90尺=9丈=2匹1丈。（答略） 　　张丘建这一解法的思路，据推测为： 　　如果把这妇女从第一天直到第30天所织的布都加起来，算式就是 　　5＋…………＋1 　　在这一算式中，每一个往后加的加数，都会比它前一个紧挨着它的加数，要递减一个相同的数，而这一递减的数不会是个整数。 　　若把这个式子反过来，则算式便是 　　1+………………＋5 　　此时，每一个往后的加数，就都会比它前一个紧挨着它的加数，要递增一个相同的数。同样，这一递增的相同的数，也不是一个整数。 　　假若把上面这两个式子相加，并在相加时，利用“对应的数相加和会相等”这一特点，那么，就会出现下面的式子： 　　所以，加得的结果是6×30=180（尺） 　　但这妇女用30天织的布没有180尺，而只有180尺布的一半。所以，这妇女30天织的布是 　　180÷2=90（尺） 　　 　　可见，这种解法的确是简单、巧妙和饶有趣味的。 　　【分组计算】一些看似很难计算的题目，采用“分组计算”的方法，往往可以使它很快地解答出来。例如 　　求1到10亿这10亿个自然数的数字之和。 　　这道题是求“10亿个自然数的数字之和”，而不是“10亿个自然数之和”。什么是“数字之和”？例如，求1到12这12个自然数的数字之和，算式是 　　1＋2＋3＋4＋5+6+7＋8+9+1＋0+1+1+1+1＋2=5l。 　　显然，10亿个自然数的数字之和，如果一个一个地相加，那是极麻烦，也极费时间（很多年都难于算出结果）的。怎么办呢？我们不妨在这10亿个自然数的前面添上一个“0”，改变数字的个数，但不会改变计算的结果。然后，将它们两两分组： 　　0和999，999，999；1和999，999，998； 　　2和999，999，997；3和999，999，996； 　　4和999，999，995；5和999，999， 994； 　　……… ……… 　　依次类推，可知除最后一个数，1，000，000，000以外，其他的自然数与添上的0共10亿个数，共可以分为5亿组，各组数字之和都是81，如 　　0+9+9+9+9＋9＋9＋9＋9＋9=81 　　1+9+9＋9＋9＋9+9+9+9＋8=81 　　……………… 　　最后的一个数1，000，000，000不成对，它的数字之和是1。所以，此题的计算结果是 　　（81×500，000，000）＋1 　　=40，500，000，000＋1 　　=40，500，000，001 　　【由小推大】“由小推大”是一种数学思维方法，也是一种速算、巧算技巧。遇到有些题数目多，关系复杂时，我们可以从数目较小的特殊情况入手，研究题目特点，找出一般规律，再推出题目的结果。例如： 　　（1）计算下面方阵中所有的数的和。 　　这是个“100×100”的大方阵，数目很多，关系较为复杂。不妨先化大为小，再由小推大。先观察“5×5”的方阵，如下图（图4.1）所示。 　　容易看到，对角线上五个“5”之和为25。 　　这时，如果将对角线下面的部分（右下部分）用剪刀剪开，如图4.2那样拼接，那么将会发现，这五个斜行，每行数之和都是25。所以，“5×5”方阵的所有数之和为25×5=125，即53=125。 　　于是，很容易推出大的数阵“100×100”的方阵所有数之和为1003=1，000，000。 　　（2）把自然数中的偶数，像图4.3那样排成五列。最左边的叫第一列，按从左到右的顺序，其他叫第二、第三……第五列。那么2002出现在哪一列： 　　因为从2到2002，共有偶数2002÷2=1001（个）。从前到后，是每8个偶数为一组，每组都是前四个偶数分别在第二、三、四、五列