(曹燕)复积分的各种计算方法.doc

第1章 引言 1.1研究背景及研究内容 复变函数的积分理论是复变函数理论的重要组成部分，是研究解析函数的重要工具之一.但对于如何计算复变函数积分以及如何处理有关复变函数积分的问题，往往很难迅速找到解决问题的方法.因此，理解复变函数积分，并能够灵活运用复积分计算方法进行复积分计算就显得极其重要.复积分中的Cauchy积分定理在理论上处于关键地位，由它派生出的Cauchy积分公式、留数定理、辐角原理等都涉及到积分的计算问题.解析函数在孤立奇点的留数原本是一个积分，而实际计算却需要Laurent展式.因而把积分与级数结合起来的留数定理使复积分理论甚至是复变函数理论达到高潮，且其用途十分广泛.因此，研究复变函数积分计算的各种方法有着非常重要的意义，本文以所列参考文献[3]中的复积分计算方法为基础，并通过查阅相关资料，借鉴了文献[4]-[7]的结果，总结复积分计算的各种方法，并通过应用[1],[2],[8],[9]中的相关知识和方法，对所列出的每种方法作典型例证和分析. 1.2预备知识 定义1.1 复积分 设有向曲线：，以为起点，为终点，沿有定义.顺着从到的方向在上依次取分点：.把曲线分成若干个弧段.在从到的每一弧段上任取一点.作成和数，其中.当分点无限增多，而这些弧段长度的最大值趋于零时，如果和数的极限存在且等于，则称沿(从到）为沿(从到）.称为积分路径. 表示沿的正方向的积分，表示沿的负方向的积分. 定义1.2 解析函数 如果函数在点及的某个邻域内处处可导，那么称 在点解析，如果在区域内解析就称是内的一个解析函数. 定义1.3 孤立奇点 若函数在点的邻域内除去点外处处是解析的，即在去心圆域内处处解析，则称点是的一个孤立奇点. 定义1.4 留数 函数在孤立奇点的留数定义为，记作. 第2章 复积分的各种计算方法 2.1复积分计算的常见方法 （1）参数方程法 定理 设光滑曲线，(在上连续，且)，又设沿连续，则.(、分别与起、终点对应) 1.若曲线为直线段，先求出的参数方程 为过两点的直线段，为始点，为终点. 例1 计算积分，路径为直线段. 解 设，则 2.若曲线为圆周的一部分，例如是以为圆心，为半径的圆. 设，即，（曲线的正方向为逆时针）. 例2 计算积分为从到的下半单位圆周. 解 设， . 用Green公式法也可计算复积分, Green公式法是参数方程法的一种具体计算方法. 例3 设为可求长的简单闭曲线，是所围区域的面积，求证：. 证明 设，则 由Green公式，有： 得证. 本题目用Green公式解决了与区域面积有关的复积分问题. （2）用Newton-Leibnize公式计算复积分 在积分与路径无关的条件下（即被积函数在单连通区域内处处解析）也可直接按类似于实积分中的Newton-Leibnize公式计算. 例4 计算. 解 因为在复平面上处处解析，所以积分与路径无关. . （3)用Cauchy定理及其推论计算复积分 Cauchy积分定理 设函数在复平面上的单连通区域内解析，为内任一条周线，则. Cauchy积分定理的等价定理 设函数在以周线为边界的闭域上解析, 则 例5 计算为单位圆周. 解 是的解析区域内的一闭曲线，由Cauchy积分定理有. 注1 利用Cauchy积分定理也有一定的局限性，主要是要求被积函数的解析区域是单连通的，计算起来较为方便. 注2 此题可用参数方法，但计算要复杂得多，而用Cauchy积分定理很简单. 另外，Cauchy积分定理可推广到复周线的情形. 定理 设是由复周线 所围成的有界连通 区域，函数在内解析，在上连续，则， 或写成 ， 或写成 . 这也是计算复积分的一个有力工具，即复函数沿区域外边界曲线的积分等于沿区域内边界积分的和.适用于积分曲线内部含被积函数奇点的情形. 例6计算的值，为包含圆周的任何正向简单闭曲线. 解 ，分别以为心做两个完全含于 且互不相交的圆周，则有 . （4） 设区域的边界是周线（或复周线）在内解析，在上连续，则有. Cauchy积分公式可以解决积分曲线内有被积函数的奇点的积分问题. 例7 计算，其中为圆周. 解 因被积函数的两个奇点是，分别以这两点为心做两个完全含于且互不相交的圆周.则有 . 此题是Cauchy积分公式与Cauchy积分定理复周线情形的结合. （5）用解析函数的高阶导数公式计算复积分 Cauchy积分公式解决的是形如的积分，那么形如 的积分怎样计算呢？ 利用解析函数的高阶导数公式可解决此问题. 例8 计算为. 解 因被积函数的两个奇点是，分别以这两点为心做两个完全含于而且互不相交的圆周. 注 Cauchy积分公式与解析函数的高阶导数公式在计算复积分时的主要区别在于被积函数分母的次数是否为一次因式，二者在计算时都常与Cauchy积分定