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第 27 卷第 2 期 齐 齐 哈 尔 大 学 学 报 Vol.27,No.2 2011 年 3 月 Journal of Qiqihar University March,2011 Taylor 公式及 Taylor 级数应用的进一步讨论 李腾 （陕西师范大学 国际商学院，西安 710062） 摘要：讨论了泰勒公式与泰勒级数的应用，即在求解函数方程、归零问题、求行列式的值、以及求重积分等问题， 应用泰勒公式与泰勒级数对 L’Hospital 法则进行了推广，其中用 Taylor 展式结合概率论求解重积分是一种新方法。 关键词：泰勒公式；函数方程；归零问题；行列式；概率论 中图分类号：O172 文献标识码：A 文章编号：1007-984X(2011)02-0080-05 数学分析以及高等数学教材中对 Taylor 公式和 Taylor 级数在理论上已进行了详细介绍[1，2] ，但对于 Taylor 公式及 Taylor 级数的应用涉及的较少。本文主要研究 Taylor 公式和 Taylor 级数在 7 个方面的应用，并且通 过实例进行介绍。 1 用 Taylor 公式对罗比达（L’Hospital）法则进行推广 求函数极限时，等价无穷小代替只运用了一阶性质，罗比达法则一次只能降低一阶，应用 Taylor 公式 能一步到位。 定理 1 设 f (x) 与 （x) x x x ϕ 在 0 的领域内可以展开成 Taylor 公式， 0 是 f (x) 的至少 n 阶零点， 0 是ϕ （x) 的 n 阶零点，则 lim f (x) f (n) (x0 ) 。 x →x (n) 0 ϕ(x) ϕ (x0 ) ( ) m n 证明 设 x 为 f (x) 的 m 阶零点 m ≥n ，那么 f (x) (x −x ) f (x) ，ϕ(x) (x −x ) ϕ (x) ，其中 0 0 1 0 1 f (x )ϕ (x ) ≠0 。 1 0 1 0 f (x) f (x) f (x ) f (n) (x ) 当 m =n 时， lim lim 1 1 0 0 ； x →x x →x (n) 0