周期函数性质的证明.doc

摘要 本文探讨了周期函数与周期的定义与性质．讨论了周期函数最小正周期的存在性，引入了最小正周期存在的充分条件，并给了详细的证明，主要研究了周期函数中的两个问题，得到了非常数周期函数的周期是其最小正周期的整数倍，及它和它导函数的最小正周期相同这两个结论． 关键词：周期函数；最小正周期；导函数 ABSTRACT This article discusses the definition and nature of the periodic function with cycle．The Existence of a periodic function of the smallest positive cycle，Introduces a sufficient condition for the existence of the smallest positive cycle，And give a detailed proof．Main study two problems in the periodic function，Been nonconstant periodic function of the cycle is an integer multiple of the smallest positive cycle，And the smallest positive cycle and its derivatives of these two conclusions． Keywords: Periodic function；The smallest positive period；Derivative function 目录 引言…………………………………………………………………1 相关知识和定理……………………………………………………2 主要定理的证明……………………………………………………5 小结…………………………………………………………………10 参考文献………………………………………………………………………11 致谢……………………………………………………………………………12 第一章 引言 周期函数是一类较特殊的函数．它主要描述了客观世界中一些具有周期性现象的数量关系．如果一个函数是周期函数，那么对于其形态的研究可带来不少方便．因此研究周期函数是具有一定意义的．我们知道有些周期函数在定义域上存在最小正周期，比如，，，等，但并不是每一个函数都有最小正周期，如常值函数，狄利克雷函数等，所以有必要讨论最小正周期的存在性，引入最小正周期存在的充分条件，并给了详细的证明．存在最小正周期的周期函数和它导函数的最小正周期是否相同，本文利用连分数的相关知识证明了非常数连续周期函数的最小正周期和它导函数的最小正周期周期之间的关系．列举了出个几个例子来判断一个函数是否为周期函数． 第二章 预备知识 定义2.1如果有一实数，使对任意（指函数的定义域），均有，则称为以T为周期的周期函数． 定义设是周期函数的周期，那么对于一切正整数，都是的周期．从而可知周期函数必有正周期；周期函数的所有周期的集合是一个上，下方均无界且对称于数轴原点的无穷集合． 定义 若，为的周期，且，则也是的周期． 给定一个周期函数，总希望找到它的最小正周期，但不是所有周期函数都有最小正周期． 例如：在整个数轴上处处不连续的狄利克雷函． 以任何非零有理数为周期，又因为有理数中无最小正数，故无最小正周期． 定义 设是的连续周期函数，且周期为，是它在上的一个原函数，则在上有界． 证明：若在上以为周期，则在上连续，从而存在最大值和最小值，分别设为，，令，则有，即有界． ，关于连分数的一些结果． 命表一正实数，是它的整数部分，又命，则也是正实数，而且大于，在命是的整数部分及，如此下去，命为的整数分，而，如此就就得到一个分数： 记为 经过计算得到，， 普通命，成为的第个渐进分数或渐进值． 定理2.5.1：渐进分数的分子与分母有如下关系： ……… ………… 证明：用归纳法．当时，上面的结论显然正确．假定已知时，以上结论成立． 立，可得证． 故当时也成立，可得证．  定理2.5.2： 与还适合以下的公式： 证明：当时显然成立，现在用归纳法，由定理2.5.1知 故成立 又由定理2.5.2知 及为（2）式 定理2.5.3 证明：我们有，， 第三章 主要定理的证明 定理3.1：设是以非常数连续周期函数，则必有最小正周期． 证明：设，则E非空有下界，存在，设为， 下面证明：（1），；(2) ．由此可得是函数的最小正周期． 若，则显然有； 若，那么存在，有，于是，由于的连续知==== 所以也是的周期． （2） 由确界的性质知，假设，可推出为常值函数