多目标规划与数学模型.ppt

1998A投资的收益和风险 对于1)(n=4),具体的模型为 max 0.05x0+0.27x1+0.19x2+0.185x3+0.185x4 s.t. 0.025x1≤a0 0.015x2≤a0 0.055x3≤a0 0.026x4≤a0 x0+1.01x1+1.02x2+1.045x3+1.065x4=1 xi≥0,(i=0,1,2,3,4) Mathematica软件求解 将a0的值从0取到0.1,步长为0.002,用Mathematica软件编程求解: (将问题转化为 min cTx s.t. Ax≥b,x≥0) For[a0 = 0, a0=0.1,a0=a0 + 0.002, c = {-0.05, -0.27, -0.19, -0.185, -0.185}; A = -{{0,0.025,0,0,0},{0,0,0.015,0,0},{0,0,0,0.055,0},{0, 0, 0,0,0.026},{1,1.01,1.02,1.045,1.065},{-1,-1.01,-1.02, -1.045,-1.065}}; b={-a0,-a0,-a0,-a0,-1,1};u=LinearProgramming[c, A, b]; Print[a0, u, -c.u]] 求解结果 当a0从0.026开始,最优值不再变化. 右图是目标函数的最优值随a0变化的图形. Matlab软件求解 Matlab中的命令[x,fval]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,lb,ub)用来求解规划min cTx s.t. A x≤b Aeq x=beq lb≤x≤ub 其中A,Aeq为矩阵,c,b,beq,lb,ub为向量. 在某些约束空缺时,可用[]表示. for a0=0:0.002:0.1; c=[-0.05;-0.27;-0.19;-0.185;-0.185]; A = [0,0.025,0,0,0; 0,0,0.015,0,0; 0,0,0,0.055,0; 0,0,0,0,0.026]; b=[a0;a0;a0;a0]; Aeq=[1,1.01,1.02,1.045,1.065]; beq=[1]; lb=zeros(5,1);[x,fval]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,lb) end; 理论求解 此处的线性规划约束条件比较特殊,可以得到理论的结果. 理论求解 理论求解 n=4的理论结果 max 0.05y0+0.2673y1+0.1863y2+0.1770y3+0.1737y4 s.t. y1≤40.4a0,y2≤68a0,y3≤19a0,y4≤40.96a0 y0+y1+y2+y3+y4=1, y0,y1,y2,y3,y4≥0. n=4的理论结果 根据以上的讨论,还可以得出目标函数的最优值随a0的变化的解析函数 模型3的理论求解 模型3可以通过计算机软件求解. 借助于模型1的结果,我们可以对模型3进行理论求解. 在模型1中我们求得了收益函数Q(a)(自变量为风险a0) 模型3的理论求解 因此,求解模型3,只要求解min s a0+(1-s)Q(a0) 模型3的理论求解 因此,求解模型3,只要求解min s a0+(1-s)Q(a0) a0≤1/168.36 显然 1/168.36≤a0≤1/127.4 1/108.4≤a0≤1/40.4 针对a0的不同范围,可以画出上述5个s的函数.对这5个函数求最小值,即可得到目标函数的最小值. 事实上,目标函数的最小值是5个线性函数的最小值(9个函数中,有4对是对应相等的): -0.05+0.05s, -0.2016+0.2076 s,-0.2106+0.2184 s,-0.2165+0.2257 s,-0.2673+0.2921 s 误差讨论 在前面的简化过程中,将 max{ui, xi}取为xi,理由是ui一般比xi小. 根据上面几种模型的理论求解,在有些条件下，会出现xi比ui小的情况. 误差讨论 比如在模型1中,中间的三条线段的最右端以及原点的右端必然对应着某个投资项目的费用很少的情况. 所以实际的图形在四个小段要比左图低一些 误差讨论 由于M的值很大,上面四个小段的长度很短. 而且,如果出现上述的情况,我们简单地将小额资金改为投入到银行,产生的误差应该小于千分之一(具体误差与资金有关). 误差讨论 如果出现小额投资的情况,求解原来的规划是相当复杂的(即使化为单目标规划,一般也要分情况讨论,求解多个线性规划,而且需要知道M的具体数值) 事实上,如果出现有小额投资的情况,不妨将这一部分投资按照一定比例分散到其它投资项目中(投资的方案是