泛函分析总复习.doc

泛函分析总复习 （按与课本先后顺序排列） 1、设是中的有界闭集，映射满足 。求证在中存在唯一的不动点。 证明： 因为，所以。再由三角不等式，得到。由此可见，在上连续。 因为是中的有界闭集，所以，使得。 如果，那么就是不动点。今假设。根据假设，我们有。但是，这与是最小值矛盾。故，即存在不动点。 不动点的唯一性是显然的。事实上，如果存在两个不动点，，则从即得矛盾。 2、对于积分方程，其中为一给定函数，为常数，，求证存在唯一解。 证明： 考虑由 则原方程等价于。 令 ，则，即是压缩映射，压缩常数为，因而有唯一的不动点，即积分方程在有唯一解，从而原方程在上有唯一解。 3、设M是C[a,b]中的有界集，求证集合是列紧集. 证： 设，， ，即E一致有界. 又 ， , 即E等度连续.由定理13结论得证. 4、求证在中不是列紧的. 证： 只要证非等度连续. 对，使得， . 由此可见，非等度连续. 5、设是距离空间，M是中的列紧集，若映射满足 ，求证上存在唯一的不动点。 证： 记.先证存在，使得 （1） 这从下确界的定义出发. ,使得 . 又因为M列紧，故存在.将上面不等式中的改为，即 ，并令，（1）式得证。 再证d=0.用反证法.如果，则有 ，矛盾。 6、设是一个紧距离空间，又，E中函数一致有界并满足： ,其中. 求证E在中是列紧集。 证： ，取，当时，， 所以E是等度连续的，因此E是列紧集。 注：. 7、在中，对每个，令，。求证是中两个等价范数。 证明：显然。考虑 8、设表示上连续且有界的函数全体，对于每个，定义 求证上的范数； 若，求证上的范数是不等价的。 证明：不妨假设，显然有，由此可见，为了证明不等价性，只要证不存在 只需证，使得，因为： ， ， ， ， 。 9、设(X, || · ||)是一线性赋范空间，M是X的有限维子空间，{e1, e2, ..., en}是M的一组基，给定g(X，引进函数．规定 F(c) = F(c1, c2, ..., cn) = (1) 求证F是一个凸函数； (2) 若F的最小值点是c = (c1, c2, ..., cn)，求证给出g在M中的最佳逼近元． 证明：(1)根据凸函数的定义，考虑 =| = 故F是一个凸函数． (2) 对一一对应有，使，是空间，是的线性子空间，假定，使得，。求证：在中稠密。 证明：考虑， 。用反证法证明。若，由Riesz引理，对，使得，并且。于是取，便有，矛盾。 11、12、 13、 14、 15、 设是Banach空间，是满射，求证：如果在中，则与，使且 证： 设考虑映射 证是单射，事实上， （） 故是单射。 事实上，由条件A满射推出，对，使得，从而。故满射。 证有界，事实上，以为对，我们有 ， 由此推出有界。 由Banach逆算子定理，。 证时的理论。事实上，如果，记则有 注意到这个结论与要证的一般结果十分相似，其中相当于C，下面要做的事就是“过河拆桥”，将中的[]去掉。事实上，根据第一章4例13的（2），可取，使得 。 进一步，从既知.令 ，C=2， 则有，C=2， 即已经证明了情形下的结论。 证时的结论，事实上，设，记，，则有 取满足；同时取，满足 这样，并有 ， 进一步，对，应用（5）一步结果既知 其中C=2由此可知 最后，再想办法将折合到上去，事实上，因为，所以，使得对，有 由此推出 联合不等式（1），（2）既知 16、