05南航戴华《矩阵论》第五章Hermite矩阵与正定矩阵.ppt

* 第5章 Hermite矩阵与正定矩阵 5.1 Hermite矩阵与Hermite二次型 5.4 Hermite矩阵的特征值* 5.3 矩阵不等式 5.2 Hermite正定（非负定）矩阵 5.1 Hermite矩阵与Hermite二次型 5.1.1 Hermite矩阵 5.1.2 矩阵的惯性 5.1.3 Hermite二次型 5.1.1 Hermite矩阵 Hermite矩阵具有如下简单性质： (1) 如果 A是Hermite矩阵，则对正整数 k，Ak 也是 Hermite矩阵； (2) 如果 A是可逆Hermite矩阵，则A-1 是Hermite矩阵； (3) 如果 A,B是Hermite矩阵，则对实数k,p, kA+pB 是 Hermite矩阵； 若A,B是Hermite矩阵，则 AB是Hermite矩阵的 充分必要条件是AB = BA； (5) A是Hermite矩阵的充分必要条件是对任意方阵 S， SH AS是Hermite矩阵。 定理5.1.1 定理5.1.2 设 A为n 阶Hermite矩阵，则 (1) A的所有特征值全是实数； (2) A的不同特征值所对应的特征向量是互相正交的。 定理5.1.3 设 ，则 A是Hermite矩阵的充分 必要条件是存在酉矩阵U使得 定理5.1.4 设 ，则 A是实对称矩阵的充分 必要条件是存在正交矩阵Q使得 5.1.2 矩阵的惯性 定理5.1.5 设 A是n 阶Hermite矩阵，则 A相合于矩阵 其中 r = rank(A)，s是 A的正特征值（重特征值按 重数计算）的个数。 (5.1.3)中矩阵称为n 阶Hermite矩阵 A的相合标准形。 定理5.1.6(Sylvester惯性定律） 设 A,B是n 阶Hermite 矩阵，则 A与B相合的充分必要条件是 5.1.3 Hermite二次型 则 A为Hermite矩阵。称矩阵A为Hermite二次型的 矩阵，并且称 A的秩为Hermite二次型的秩。 记 利用Hermite二次型的矩阵，Hermite二次型可 表示为 设P是n阶可逆矩阵，作线性变换x = Py，则 Hermite二次型中最简单的一种是只包含平方 项的二次型 称形如（5.1.12）的二次型为Hermite二次型的 标准形。 定理5.1.7 对Hermite二次型 f (x) = xHAx，存在酉 线性变换x = Uy（其中U是酉矩阵）使得Hermite 二次型f (x)变成标准形 定理5.1.8 对Hermite二次型 f (x) = xHAx，存在可逆 线性变换x = Py 使得Hermite二次型f (x)化为 其中 r = rank(A)，s = π(A). Hermite二次型可分为五种情况 定义5.1.1 设f (x) = xHAx为Hermite二次型。 定理5.1.9 对Hermite二次型f (x) = xHAx, 有 5.2 Hermite正定（非负定）矩阵 定义5.2.1 正定（非负定）矩阵具有如下基本性质： 定理5.2.1 设 A是n 阶Hermite矩阵，则下列命题等价： (1) A是正定矩阵； (2) 对任意n 阶可逆矩阵P,PHAP 都是Hermite正定 矩阵； (3) A的n 个特征值均为正数； (4) 存在n 阶可逆矩阵P使得PHAP = I； (5) 存在n 阶可逆矩阵Q使得A = QHQ； (6) 存在n 阶可逆Hermite矩阵S 使得A = S2. 推论5.2.1 定理5.2.2 设 A是n 阶Hermite矩阵，则下列命题等价： (1) A是非负定矩阵； (2) 对任意n 阶可逆矩阵P, PHAP是Hermite非负定 矩阵； (3) A的n 个特征值均为非负数； 推论5.2.2 定理5.2.3 n 阶Hermite矩阵 A正定的充分必要条件是 A的顺序主子式均为正数，即 定理5.2.4 n 阶Hermite矩阵 A正定的充分必要条件是 A的所有主子式全大于零。 定理5.2.5 n 阶Hermite矩阵 A非负定的充分必要条件 是A的所有主子式均非负。 定理5.2.6 n 阶Hermite矩阵 A正定的充分必要条件是 存在n 阶非奇异下三角矩阵 L 使得 定义5.2.2 则称λ为广义特征值问题 的特征值，非零 向量 x 称为对应于特征值的特征向量。 定理5.2.7 设A,B 均为n 阶Hermite矩阵 ，且B0，