2011全国高中数学竞赛讲义二项式定理与多项式.doc

§17二项式定理与多项式 1．二项工定理 2．二项展开式的通项 它是展开式的第r+1项. 3．二项式系数 4．二项式系数的性质 （1） （2） （3）若n是偶数，有，即中间一项的二项式系数最大. 若n是奇数，有，即中项二项的二项式系数相等且最大. （4） （5） （6） （7） （8） 以上组合恒等式（是指组合数满足的恒等式）是证明一些较复杂的组合恒等式的基 本工具.（7）和（8）的证明将在后面给出. 5．证明组合恒等式的方法常用的有 （1）公式法，利用上述基本组合恒等式进行证明. （2）利用二项式定理，通过赋值法或构造法用二项式定理于解题中. （3）利用数学归纳法. （4）构造组合问题模型，将证明方法划归为组合应用问题的解决方法. 例题讲解 ．的展开式中的常数项. 2．的展开式里x5的系数. 3．满足 求证：对于任何自然数n， 是x的一次多项式或零次多项式. 4．求证：对一切，An均为整数. 5．为整数，P为素数，求证： 6．，求证： 7．中，，求的末位数字是多少？ 8．为自然数）的因子d之和. 9．，求数x的个位数字. 10．试问：在数列中是否有无穷多个能被15整除的项？证明你的结论. 例题答案： ① 其中第项为 ② 在的展开式中，设第k+1项为常数项，记为 则 ③ 由③得r－2k=0，即r=2k，r为偶数，再根据①、②知所求常数项为 评述：求某一项时用二项展开式的通项. 2. 解：因为 所以的展开式里x5的系数为 评述：本题也可将化为用例1的作法可求得. 3. 分析：由是等差数列，则从而可将表示成的表达式，再化简即可. 解：因为 所以数列为等差数列，设其公差为d 有 从而 由二项定理，知 又因为 从而 所以 当的一次多项式，当零次多项式. 4. 分析：由联想到复数棣莫佛定理，复数需要，然后分析An与复数的关系. 证明：因为 显然的虚部，由于 所以从而的虚部. 因为a、b为整数，根据二项式定理，的虚部当然也为整数，所以对一切，An为整数. 评述：把An为与复数联系在一起是本题的关键. 5. 证明： 由于为整数，可从分子中约去r！，又因为P为素数，且，所以分子中的P不会红去，因此有所以 评述：将展开就与有联系，只要证明其余的数能被P整除是本题的关键. 6. 分析：由已知 猜想，因此需要求出，即只需要证明为正整数即可. 证明：首先证明，对固定为r，满足条件的是惟一的.否则，设 则矛盾.所以满足条件的m和是惟一的. 下面求. 因为 又因为 所以 故 评述：猜想进行运算是关键. 7. 分析：利用n取1，2，3，…猜想的末位数字. 解：当n=1时，a1=3， ，因此的末位数字都是7，猜想， 现假设n=k时， 当n=k+1时， 从而 于是 故的末位数字是7. 评述：猜想是关键. 8. 分析：寻求N中含2和3的最高幂次数，为此将19变为20－1和18+1，然后用二项式定理展开. 解：因为N=1988－1=(20－1)88－1=(1－4×5)88－1 =－ 其中M是整数. 上式表明，N的素因数中2的最高次幂是5. 又因为N=(1+2×9)88－1 =32×2×88+34·P=32×（2×88+9P）其中P为整数. 上式表明，N的素因数中3的最高次幂是2. 综上所述，可知，其中Q是正整数，不含因数2和3. 因此，N中所有形如的因数的和为(2+22+23+24+25)(3+32)=744. 9. 分析：直接求x的个位数字很困难，需将与x相关数联系，转化成研究其相关数. 解：令 ，由二项式定理知，对任意正整数n. 为整数，且个位数字为零. 因此，x+y是个位数字为零的整数.再对y估值， 因为， 且， 所以 故x的个位数字为9. 评述：转化的思想很重要，当研究的问题遇到困难时，将其转化为可研究的问题. 10. 分析：先求出，再将表示成与15有关的表达式，便知是否有无穷多项能被15整除. 证明：在数列中有无穷多个能被15整除的项，下面证明之. 数列的特征方程为它的两个根为， 所以 （n=0，1，2，…） 由 则 取，由二项式定理得 由上式知当15|k，即30|n时，15|an，因此数列中有无穷多个能被15整除的项. 评述：在二项式定理中，经常在一起结合使用. 数学教育网---数学试题-数学教案-数学课件-数学论文-竞赛试题-中高考试题信息 数学教育网