《数学模型》第十三章其他模型教案.ppt

红绿灯模型 7. ttu , xsl(t), xsr(t)继续移动 红绿灯模型 0 (t充分大) xsl由向左变为向右移动 ? ?m ?0 0 ttu xsr xxl x 8. t=t* , x=0处交通恢复 红绿灯模型 ?0 =0 t=t* xsr xxl x ? 当xsl移动至x=0时, x=0处交通恢复 ?越小, ?0/?m越小, 则t*越小, x=0处交通恢复越快. 设?=5min, ?0/?m=3/8, 则t*=80min 5分钟的堵塞, 过75分钟后x=0处交通才能恢复. 9. tt* , xsl(t), xsr(t)继续向右移动 红绿灯模型 ?0 0 tt* xsr xxl x ? xsl, xsr处?的跳跃值越来越小. 理论上, t??全线交通才能恢复到初始状态?=?0 以上假定初始密度?0 ?*= ?m/2 ~ 稀疏流. 若假定初始密度?0 ?*= ?m/2 ~ 拥挤流, 得到的结果与稀疏流不同, 但分析方法一样(习题3). 红绿灯下的交通流 将离散车流类比作连续流体 ~ 类比是建模的基本方法之一. 引入流量、密度、速度函数, 并按照守恒关系建立交通流模型(积分形式和微分形式). 用特征线法解连续交通流模型. 利用跳跃值研究间断线发展过程, 研究红绿灯模型. 13.3 鲑鱼数量的周期变化 背景与问题 海洋中鱼的数量按繁殖期呈周期变化. 鲑鱼生长、繁殖过程： 成年鱼产卵 产卵前鲑鱼的数量按一定规律呈周期变化 既在离散的时间点上描述成年鲑鱼数量的周期变化，又在连续的繁殖期内描述从卵、幼鱼到成年鱼的演变过程. 将描述连续变化的微分方程嵌入描述离散变化的差分方程. 卵变成幼鱼 幼鱼长大 产卵后死去 被成年鱼吃掉、被环境淘汰 模型假设 xn~第n繁殖期(周期)初成年鲑鱼的数量( n =0,1,2, …) y(t)~每个周期内t时刻幼鱼的数量 tb ?ε? . ta ?ε? . n . n+1 . 1. y(ta) 与xn 成正比，比例系数?为一条鱼的产卵量. 3. 单位时间内y(t) 减少的比例与xn 成正比，比例系数?反映鲑鱼吞食幼鱼的能力. 2. xn+1 与y(tb)成正比，比例系数?表示繁殖期末幼鱼成长为成年鱼的比例. 允许数量出现突变 t . 模型建立 y(ta) 与xn 成正比 单位时间内y(t) 减少的比例与xn 成正比 xn+1 与y(tb)成正比 t . tb ?ε? . ta ?ε? . n . n+1 . t . 无解析解, 寻求数值解 模型建立 ? ~ 一条鱼的产卵量, 设?=105 ~ 繁殖期末幼鱼成长为成年鱼的比例, 设?=0.5, 1.1, 1.5 (?10-4) a= ??= 5, 11, 15 设x0=1(数量单位), 且吞食90%的幼鱼, 即y(tb)/ y(ta)=0.1 b=2.3 a的大小反映鲑鱼从一个周期到下一周期的增长 模型建立 a=5, 11, 15, b=2.3 0.3225 0.3568 0.6990 40 0.4308 0.3562 0.6990 20 1.9600 1.7260 0.6990 39 1.7960 1.7270 0.6989 19 0.2137 0.3568 0.6990 38 0.1821 0.3581 0.6990 18 2.1860 1.7260 0.6990 37 2.2720 1.7240 0.6989 17 ? ? ? ? ? ? ? ? 0.1771 0.3569 0.6990 30 0.2625 0.8876 0.7329 4 2.2870 1.7260 0.6990 29 2.0740 1.1560 0.6402 3 0.3147 0.3568 0.6990 28 0.7115 0.9611 0.7906 2 1.9730 1.7260 0.6990 27 1.5000 1.1000 0.5000 1 ? ? ? ? 1 1 1 0 a=15 a=11 a=5 n a=15 a=11 a=5 n a=5, xn?0.6990, a=11, xn?1.7260, 0.3568, a=15, xn?? 平衡点与稳定性 研究a的大小对鲑鱼数量xn变化规律的影响 平衡点 x*: 平衡点 x*稳定条件: 当 时x*稳定 数值解中a=5, b=2.3, x*=ln5/2.3=0.699稳定 数值解中 a=11, 15 (e2), x*不稳定 考察倍周期收敛条件 平衡点与稳定性 变量代换(无量纲化) ?2, z*=1稳定; ?2, z*=1不稳定 平衡点 x*=lna/b ? z*=1, 稳定条件 ae2 ? ?2 ?2, 讨论倍周期收敛 平衡点 : z1*, z2