华中科技大学线性代数第二节行列式的性质.ppt

行列式 称为行列式 的转置行列式. 记 一、行列式的性质 性质1 行列式与它的转置行列式相等. 证明：（数学归纳法） n=1时，显然成立； 假设对n-1阶行列式也成立，下证对n阶行列式也成立 （按j列展开） （按i列展开） 因此 即结论成立 是DT中原素 的代数余子式， 是相应 的余子式，且为行列式D划去第i行、第j列后剩下的元 素组成的n-1阶行列式Mij的转置，即 由归纳假设Mij= MijT，故 注：行列式中的行与列的地位是平等的。（对行成立的性质，同样对列成立） 推论 行列式也可按行展开，即： 性质2 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数k，等于用数k乘此行列式. 提示： 直接对等式两端的行列式按第i行展开 推论　行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面． 推论　若行列式的某一行（列）中所有元素全为零，则行列值式为． 提示： 令性质2中的k=0即得结论 若n阶行列式的每一个元素都乘以同一数k，等于用 乘以此行列式. 性质3 互换行列式的两行（列）,行列式变号. 证明 ：（数学归纳法证明）（见课本Page 9） n=2时，显然成立；假设对n-1阶行列式也成立，下证对n（2）阶行列式也成立 设原n阶行列式为D, D1为交换D的第i行与第j行之后的 行列式，由于n2，故除了交换的第i行与第j行，还有 一个第k行，分别对D1和D按第k行展开： 根据假设， 故有 推论　行列式中如果有两行（列）元素对应成比例，则此行列式为零． 推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零. 证明： 互换相同的两行，有 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即 推论 把行列式 按第 行展开有 证明 把行列式中的 换成 可得 相同 同理 命题得证 关于代数余子式的重要性质 （列） （行） 性质4　若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和. 则行列式等于下列两个行列式之和： 例 性质5　把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变． 例如 计算行列式常用方法：利用运算　　　把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值． 二、计算举例 计算行列式的原则：尽量将行列式化为上（下）三角形式 n阶行列式的一般计算方法（n!项代数和） 计算量非常大 n阶行列式的性质 性质1 行列式与它的转置行列式相等.即 . 性质2 互换行列式的两行（列）,行列式变号. 推论 如果行列式有两行（列）的对应元素完全相同，则此行列式为零. 性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数 ，等于用数 乘此行列式. 推论2　行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零． 性质4　若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和,则这个行列式等于两个行列式之和. 性质5　把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变． 例1 解 例2 解 每行所有元素和均相同 例3 解 爪形结构 例4 解 爪形结构 例5 * *