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多项式的因式分解的方法 摘要：在数学学习过程中，常常遇到多项式因式分解问题，本文对一元多项式因式分解的方法进行了初步的探索，归纳了一元多项式因式分解的12种方法，给出具体实例，并对每种方法加以评论。 关键词：一元多项式，因式分解 Abstract: In mathematics learning process, often encountered polynomial paper factoring decomposition method of factoring decomposition unary polynomial conducts a preliminary exploration of the dollar, puts forward the 12 species, the method of factoring decomposition polynomial actual examples are given, and comment of each method, let the reader more understandable. Key Words: A dollar polynomial , factoring 多项式在高等代数中的重要性使我们有必要对进行深入＞次多项式都可以分解成这个多项式环内不可约多项式的乘积，并且表达式唯一（因式次序及零次因式的差异除外）。本文对的方法进行总结归纳）设多项式=是整系数多项式， 第一步 写出首项系数的全部因数，； 第二步 写出常数项的全部因数，； 第三步 用综合除法对试验，确定的根； 第四步 写出的标准分解式。 例1 求=在有理数域上的因式分解式。 解 先把它转换成求=的有理根。 的常数项和首项系数的全部因数分别为，与，，,则需要检验的有理数为，，，. 由于=0，故-1是的根，且易知=. 按照同样的方法可求=的有理根，易知的有理根为，且是的单根。 = =. 例2 求=在有理数域上的因式分解式。 解 先把它转换成求=的有理根。 由于是首项系数是1的整系数多项式，如果有有理根，必为整数根，且为常数项-14的因数。由于-14的因数为，，，，经检验知，，， ， ，， ，. 故2是的有理根，又由综合除法，得 2 1 -6 15 -14 2 -8 14 2 1 -4 7 0 2 -4 1 -2 3 可见2是的单根，所以=. ２ 待定系数法 例3 求在有理数域上的标准分解式。 解 的首项系数1的因子有，常数项-4的因子有，，，故的根有可能是，，，将其代入逐一检验，得出-1和4是的有理根。 不妨设=，利用多项式乘法法则将右边展开且合并同类项，得=. 与进行逐项比较，得. 所以，= =. ３ 重因式分离法 （参见文献）数域P上任一次数大于0的多项式都有唯一的标准分解式 　　　　　　　　　　　　（*） 其中为的首项系数，是P上首项系数为1的不可约多项式且两两互异，都是正整数。对（*）式两边求导，得 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　， 其中每个都不能整除， 则存在 ，由此可见和具有完全相同的因式差别只是中的因式的重数为1所以求 的因式就可以转化成求的因式例在有理数域上的标准分解式。 解由 ， 得 ， 所以的不可约因式为但是， 由重因式定理是 的重因式所以 在有理数域上的标准分解式。 解由，用辗转相除法，得=. 于是 =. 由于与有完全相同的不可约因式，，可见有根1，-2，再用综合除法 1 1 2 -6 -8 17 6 -20 8 1 3 -3 -11 6 12 -8 1 1 3 -3 -11 6 12 -8 0 1 4 1 -10 -4 8 1 1 4 1 -10 -4 8 0 1 5 6 -4 -8 1 1 5 6 -4 -8 0 1 6 12 8 1 1 6 12 8 0 1 7 19 1 7 19 27 可见1是的四重根，-2是的三重根。所以=. ４ 利用矩阵的初等行变换法 （参见文献）因为 ，并且满足=，所以可根据以上过程求出，再用方法三求出多项式标准分解式。 例6 求在有理数域上的标准分解式。 解 由 易见，=， 又因为=， 所以 ）在高等代数中，行列式是一个较好的工具，我们可以巧妙地运用行列式的相关性质对一些多项式进行因式分解.我们知道二阶行列