太原理工大学微积分与数学模型(10年修改版)114.ppt

一、问题的提出 2. 柱面坐标系下三重积分的计算 2. 球面坐标系下三重积分的计算 第四节 三重积分的计算 一 问题的提出 二 直角坐标系下三重积分的计算 三 柱面坐标系下三重积分的计算 四 球面坐标系下三重积分的计算 例 非均匀物体的质量 直角坐标系下将三重积分化为三次积分 二、直角坐标系下三重积分的计算 1. 先“一”后“二”（截线法） l 得 类似可以得 解： 解： 2. 先“二”后“一”（截面法） 截面法的一般步骤： (1) 把积分区域 向某轴（例如 轴） 投影，得投影区间 ； 对 用垂直 轴且平行 平面的平面去截 得截面 计算二重积分 其结果为 的函数 ； 最后计算单积分 即得三重积分值。 解： 原式 规定： 注意：柱面坐标系就是平面 极坐标系加上 轴。 三、柱面坐标系下三重积分的计算 1. 柱面坐标系 柱面坐标与直角坐标的关系为： 柱面坐标系的三坐标面是 圆柱面； 半平面； 平 面。 利用柱面坐标系的三组坐标 面来分割积分区域，如图， 体积元素为 解： 球面与抛物面交线为 把闭区域 投影到 面上 解： 所围成的立体如图， 所以 四、球面坐标系下三重积分的计算 1. 球面坐标系 规定： 如图，三坐标面分别为 圆锥面； 球 面； 半平面。 球面坐标与直角坐标的关系为 如图， 球面坐标系中的体积元素为 解： 例7 计算 其中 是 与 所围成的立体。