小波空间中采样理论研究.pdf

第12 卷 第6 期 电路与系统学报 Vol.12 No.6 2007 年 12 月 JOURNAL OF CIRCUITS AND SYSTEMS December ， 2007 文章编号：1007-0249 (2007) 06-0099-05 * 小波空间中采样理论研究 王建新， 徐艳国， 谭雪琴 （南京理工大学 电子工程与光电技术学院，江苏 南京 210094 ） 摘要：本文研究了小波理论在非带限信号采样中的应用，分析了Walter 子波空间采样定理及其突破Nyquist 率限 制的理论依据；介绍了在信号恢复的过程中可以避免无限冲激响应滤波器出现的周期性非均匀采样及导数采样理论， 并以紧支信号为例分别进行了仿真验证。 关键词：小波空间；采样定理；非均匀采样；非带限信号 中图分类号：TN911.21 文献标识码：A 1 引言 采样问题是信号分析理论的基本问题，1948 年Shannon 提出了经典的采样理论，Shannon 采样定 理揭示了带限信号应遵循的规律。然而，Shannon 采样定理有两点限制：只对带限信号有效和采样率 要不低于Nyquist 率。 后来采样理论得到进一步扩展，有基于Bessel 变换的采样定理，基于 Innovation 值的采样理论[2] 和小波空间中的采样理论等。其中小波空间中的采样理论发展潜力最为巨大，Walter 、Janssen 和 Xia 等人在这方面做出了巨大的贡献[1] 。通过对小波采样理论的研究，人们发现Nyquist 率并不是信号采样 的一个必要条件，而且即便非带限信号也是有可能通过样本无失真重建的。 本文主要针对小波采样理论进行了深入地研究，其中第二部分简要地介绍了Walter 子波空间采样 定理及其没有 Nyquist 率限制的理论依据；第三部分介绍了周期性非均匀采样，证明了它的一些优越 性能，并以紧支信号为例进行了仿真；第四部分则研究了导数采样理论，并以具体的信号进行了证明 和仿真。 2 Walter 子波空间采样定理 V ϕ(t) x (t) V x (t) 设 是由尺度函数 张成的小波子空间， 是 中的信号，且 可表示为： 0 0 x (t) ∑c(k )ϕ(t −k ) （1） k ∈Z 为了得到采样定理的形式，需要分析尺度函数ϕ(t) 满足的条件。 1）如果ϕ(n) δ(n) （此时的ϕ(t) 也称为正交基尺度函数，英文简写为COSF[1] ），则： x (n) ∑c(k )δ(n −k ) （2 ） k ∈Z 可知x (n) c(n) ，进而式（1）可表示采样定理的形式为： x (t) x (k )s (t −k ) 3 ∑