第3章12节逼近与正交多项式.ppt

第3章 函数逼近与曲线拟合  §2 正交多项式 1. 定义   例1   2.正交多项式的性质    3. 勒让德多项式 4. 切比雪夫多项式 * §1 函数逼近的基本概念 ： 1.数值计算中经常要计算函数值，如计算机中计算 基本初等函数及其他特殊函数； 2.当函数只在有限点集上给定函数值，要在包含该 点集的区间上用公式给出函数的简单表达式. 问题 这些都涉及到在区间 上用简单函数逼近已知复杂 函数的问题，这就是函数逼近问题. 插值法就是函数逼近问题的一种. 记作 ， 本章讨论的函数逼近，是指“对函数类 中给定的函数 中求函数 ， 使 与 的误差在某种度量 要在另一类简单的便于计算的函数类 意义下最小”. 函数类 通常是区间 上的连续函数，记作 ， 称为连续函数空间. 定义1 设 是有限或无限区间，在 上的 函数 满足条件： （2）  存在且为有限值 （3） 对 上的非负连续函数 ，如果 则称 为 上的一个权函数. 则 (1) 设 是 上给定的权函数, 定义2 内积的性质 定义3 则称 与 在 上带权 正交. 若 上的权函数且满足 为 若函数族 满足关系 则称 是 上带权 的正交函数族. 若 ，则称之为标准正交函数族. 三角函数族  就是在区间 上的正交函数族. 定义3 设 是 上首项系数 的 次多 项式， 为 上权函数， 满足正交关系式， 则称多项式序列 为在 上 带权 正交，称 为 上带权 的 次正交多项式. 如果多项式序列 只要给定区间 及权函数 ，均可由一族线性 无关的幂函数 利用逐个正交化手续构造 出正交多项式序列 ： （1） 是具有最高次项系数为1的 次多项式. 正交多项式序列有以下性质：  （2） 任何 次多项式 均可表示为 的线性组合. 定理3 设 是在 上带权 的正交多项式 序列，则 的 个根都是在区间 内的单重 实根. 罗德利克(Rodrigul）给出了简单的表达式 当区间为 ，权函数 时， 并用 表示. 正交化得到的多项式就称为勒让德(Legendre)多项式， 由 由于 是 次多项式， 所以对其求 阶导数后得 最高项系数为1的勒让德多项式为 于是得首项 的系数 勒让德多项式重要性质： 性质1 证明 令 ， 设 是在区间 上 阶连续可微的函数，由分部 积分知 正交性 则 下面分两种情况讨论: （1） 若 是次数小于 的多项式， 则 故得 则 （2） 若 于是 由于 故 性质2 由于 是偶次多项式，经过偶次求导仍为 偶次多项式，经过奇次求导则为奇次多项式，故 为偶数时 为偶函数， 为奇数时 为奇函数，于是性质2成 立. 奇偶性 由 递推公式 利用上述递推公式就可推出  性质3 图3-1 图3-1给出了 的图形.  在区间 内有 个不同的实零点. 性质4 当权函数 ，区间为 时，由序 列 正交化得到的正交多项式就是切比雪夫 (Chebyshev)多项式. 它可表示为 若令 ， 则