第二章平差数学模型与最小二乘原理电子教案.doc

平差数学模型 与最小二乘原理 2.1 参数估计及其最优性质 几何模型：包括水准网和平面控制网（包括测角网、测边网、边角网）。每种几何模型都包含有不同的几何元素，如水准网中包括点的高程、点间的高差，平面网中包含角度、边长、边的坐标方位角以及点的二维或三维坐标等元素。这些元素都被称为几何量。 在诸多几何量中，有的可以直接测量，有的是间接求出。几何模型不同，它所需要知道的元素的个数与类型也不同，目标是确定几何模型的唯一性。 1.如图2-1的三角形ABC中，为了确定它的形状，只需要知道三个内角中的任意两个内角的大小就可以了。它们都是同一类型的元素。 2.要确定该三角形的大小和形状，就必须知道三个不同的元素，即任意的一边两角、任意的两边一角或者是三边。它们中间都至少包含一条边长该情况包含角度和边长两类元素。 3.要确定该三角形的大小、形状和它在一个特定坐标系中的位置和方向，则必须知道图中15个元素（6个坐标元素，3个内角元素，3个边长元素，3个方位角元素）中的6个不同的元素，这6个元素可以构成更多的组合，至少要包含一个点的坐标和一条边坐标方位角，它们的改变只相当于整个网在坐标系中发生了平移和旋转，并不影响该三角形的内部形状和大小。如果A、B两点都是已知点，为确定三角形的大小、形状、位置和方向，则只需要任意两个元素就行了，如两角、两边或一边一角等。 我们把能够唯一地确定一个几何模型所必要的元素，称为必要观测元素。必要观测个数用t表示。例如，确定三角形的形状，必要观测元素个数t=2；确定三角形的大小和形状，必要观测元素个数t=3；确定三角形的大小、形状、位置和方向，必要观测元素个数t=6。对于后两种情况，不仅要考虑必要观测元素的个数，还要考虑到元素的类型，否则就无法唯一地确定模型。 必要起算数据个数用d表示，水准网为1，测角网为4，测边网和边角网为3。 观测值个数用n个表示。 当nt时,显然无法确定模型的解； 当n=t时,则可唯一地确定该模型，但对观测结果中含有的粗差和错误都将无法发现； 当nt时，能及时发现测量中的粗差和错误，提高观测成果的精度和可靠性。令多余观测个数，在统计学中称r为自由度。 一个几何模型能通过t个必要而独立的量唯一的确定下来，当模型中有r个多余观测量，一定存在着r个这样的函数关系式。 例如在上述2中，如果观测了角度、、，即n=3,t=2,则r=1,它们的真值之间存在如下关系式 有r个多余观测，就会有r个这样的关系式（条件方程）。由于观测不可避免地含有误差，所以 为了消除矛盾，通常用另一组被称为“观测值估值”（又叫平差值、最或是值、最或然值）来代替观测值，即 称为观测值的改正数，未知数个数方程式个数，无数多组，所以问题的关键点是：在无数多组解中求得唯一的一组最优改正数。 测量平差的任务就是对参数（未知数）及其方差（协方差）进行估计，即对平差数学模型的参数进行估计（点估计和区间估计）。由于多余观测而产生的平差数学模型，都不可能直接解方程而求得唯一解，测量平差中的参数估计，就是要在无数多组解中，找到一组最优的解作为平差参数的最终估计，为此，必须对平差数学模型附加某种约束条件，实现满足最优性质的参数唯一解，其中最广泛采用的平差准则是最小二乘准则。 最优估计量主要有以下3个性质。 一致性 满足 的估计量为参数X的一致性估计量。 2．无偏性 满足 则称为X的无偏估计量。 同时满足 则称为X的严格一致性估计量。 有效性 具有无偏性的估计量并不唯一，但毫无疑问方差最小的估计量是最优的。设有估计量1和2，如果D(1)D(2)，则称1比2有效。其中D()=min，为X的最有效估计量，称为最优无偏估计量。 数理统计理论证明，具有无偏性、最优性的估计量一定是一致性估计量，所以测量平差中参数的最佳估计值要求是最优无偏估计量。 2.2 最小二乘原理 在测量工作及其它科学工程领域，应用最早也最广泛的就是所谓的“最小二乘准则” 测量工作中习惯上用符号代替 当为非对角阵，表示观测值相关，按进行的平差称为相关观测平差。 当为对角阵，表示观测值不相关，此时最小二乘准则可表示为纯量形式，即 特别地，当观测值不相关且等精度时，权阵为单位阵，此时最小二乘准则可表示为 其实，估计的准则有许多种，最小二乘准则是其中的一种，还有一种常用的估计叫做最大似然估计，其概率分布密度函数为 所谓极大似然估计，就是要在概率分布密度函数达到极大的条件下来对真误差进行估计。显然，当达到极小时，概率分布密度函数可取得极大值，仍用表示对的估计结果，即要求： 相当于 显然，当观测向量服从正态分布时，极大似然估计与最小二乘估计的结果是一致的。 例[2-1] 设对某量进行了次同精度独立观