线性代数第三章矩阵初等变换与线性方程组.ppt

齐次与非齐次线性方程组 线性方程组讨论例题 线性方程组讨论例题(2) 线性方程组讨论例题(3) 线性方程组讨论例题(4) 线性方程组讨论例题 线性方程组讨论例题 线性方程组讨论例题 线性方程组讨论例题 线性方程组讨论例题 线性方程组讨论例题 作业 设矩阵A = 求矩阵A的秩 设有矩阵方程 其中A= ，B= ， C= ，求矩阵 是否有非零解 方程组只有零解 * 线性方程组的解 设一般线性方程组为 线性方程组有解，我们称它们是相容的；如果无解，则称它们是不相容的。 方程（1）对应的矩阵方程为 其中： 称为方程组(1)的增广矩阵。 其中 为方程组(1)的系数矩阵。 称为方程组（1）的导出组， 或称为（1）对应的齐次线性方程组。 当 时,齐次线性方程组 非齐次线性方程组 定义：线性方程组的初等变换 （1） 用一非零的数乘某一方程 （2） 把一个方程的倍数加到另一个方程 （3） 互换两个方程的位置 可以证明一个线性方程组经过若干次初等变换，所得到的新的线性方程组与原方程组同解。 对一个方程组进行初等变换，实际上就是对它的增广矩阵；做初等行变换 初等行变换 化为行阶 梯形矩阵 则以矩阵（3）为增广矩阵的方程组与方程组（1）同解。 化为行最 简形矩阵 由矩阵（3）可讨论方程组（1）的解的情况 有唯一解。 有无穷多解。 特别地，方程组(1)的导出组，即对应的齐次线性方程组 一定有解。 当 有唯一的零解。 有无穷多解，即有非零解。 1) 若 ，即 则方程组无解。 2) 若 则方程组有解， 当 时， 举例说明消元法具体步骤： 例：解线性方程组 解： 最后一行有 可知方程组无解。 例：解线性方程组 解： 对应的方程组为 即 所以一般解为 （k为任意常数） 齐次线性方程组 1. 齐次线性方程组（2）有解的条件 定理1:齐次线性方程组 有非零解 定理2:齐次线性方程组 只有零解 推论:齐次线性方程组 只有零解 即 即系数矩阵A可逆。 例: 求齐次方程组的通解。 解： 初等行变换 行最简形矩阵对应的方程组为 求通解 即 是自由 未知量。 令 则 即 为任意常数。 解： 初等行变换 所以只有零解。 三. 非齐次性线性方程组 有解的条件 定理3：非齐次线性方程组 有解 并且，当 时，有唯一解； 当 时，有无穷多解。 求解非齐次方程组 解： 令 则 为任意常数） 例 k取何值时有唯一解, 无穷多解或无解， 有无穷多解时求出通解. 解： 法1： 法2：利用Cramer法则 有无穷多解， 即 当 时， 当 时，即 且 时，方程组有唯一解。 所以方程组无解。 取何值时， （1）有唯一解；（2）无解；（3）有无穷多组解 解： 当 时； 当 时； 当 时； 原方程组有唯一解 当 时； 显然此时方程有无限多组解 显然此时方程有无限多组解 当 时； 原方程组无解 当 时； 原方程组有唯一解 当 时, 原方程组无解 当 时； 方程有无限多组解 取何值时有解，并求出它的解 解： 时，无解 时： 线性方程的解为： 得： 时： 线性方程的解为： 得： 解： 时 为何值时，有唯一解、无解或有无限多解？并在有无限多解解求通解。 时，无解 、1时，唯一解 时，无穷多解 时