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2009年全国高考理科数学试题及详解-全国2卷
2009年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学(必修+选修II)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第Ⅰ卷1至2页。第Ⅱ卷3至4页。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
注意事项:
1.答题前,考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚,并贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。
2.每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,在试题卷上作答无效。
3.第Ⅰ卷共l2小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
一、选择题:
1.
A. B. C. D.
解:原式.故选A.
2. 设集合,则=
A. B. C. D.
解:..故选B.
3. 已知中,, 则
A. B. C. D.
解:已知中,,.
故选D.
4.曲线在点处的切线方程为
A. B. C. D.
解:,
故切线方程为,即 故选B.
5. 已知正四棱柱中,为中点,则异面直线与所成的角的余弦值为
A. B. C. D.
解:令则,连∥ 异面直线与所成的角即
与所成的角。在中由余弦定理易得。故选C
6. 已知向量,则
A. B. C. D.
解:。故选C
7. 设,则
A. B. C. D.
解:
.故选A.
8. 若将函数的图像向右平移个单位长度后,与函数的图像重合,则的最小值为
A. B. C. D.
解:
,
又.故选D
9. 已知直线与抛物线相交于两点,为的焦点,若,则
A. B. C. D.
解:设抛物线的准线为直线 恒过定点P .如图过分 别作于,于, 由,则,点B为AP的中点.连结,则, 点的横坐标为, 故点的坐标为, 故选D
10. 甲、乙两人从4门课程中各选修2门。则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有
A. 6种 B. 12种 C. 30种 D. 36种
解:用间接法即可.种. 故选C
11. 已知双曲线的右焦点为,过且斜率为的直线交于两点,若,则的离心率为
m A. B. C. D.
解:设双曲线的右准线为,过分 别作于,于, ,由直线AB的斜率为,知直线AB的倾斜角为,
由双曲线的第二定义有.
又 故选A
12.纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北。现有沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平,得到右侧的平面图形,则标“”的面的方位是
A. 南 B. 北
C. 西 D. 下
解:展、折问题。易判断选B
第II卷(非选择题,共90分)
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分。把答案填在答题卡上。
13. 的展开式中的系数为 6 。
解:,只需求展开式中的含项的系数:
14. 设等差数列的前项和为,若则 9 .
解:为等差数列,
15.设是球的半径,是的中点,过且与成45°角的平面截球的表面得到圆。若圆的面积等于,则球的表面积等于 .
解:设球半径为,圆的半径为,
因为。由得.故球的表面积等于.
16. 已知为圆:的两条相互垂直的弦,垂足为,则四边形的面积的最大值为 。
解:设圆心到的距离分别为,则.
四边形的面积
三、解答题:本大题共6小题,共70分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
17(本小题满分10分)
设的内角、、的对边长分别为、、,,,求。
分析:由,易想到先将代入得。然后利用两角和与差的余弦公式展开得;又由,利用正弦定理进行边角互化,得,进而得.故。大部分考生做到这里忽略了检验,事实上,当时,由,进而得,矛盾,应舍去。
也可利用若则从而舍去。不过这种方法学生不易想到。
评析:本小题考生得分易,但得满分难。
18(本小题满分12分)
如图,直三棱柱中,、分别为、的中点,平面
(I)证明:
(II)设二面角为60°,求与平面所成的角的大小。
(I)分析一:连结BE,为直三棱柱,
为的中点,。又平面,
(射影相等的两条斜线段相等)而平面,
(相等的斜线段的射影相等)。
分析二:取的中点,证四边形为平行四边形,进而证∥,,得也可。
分析三:利用空间向量的方法。具体解法略。
(II)分析一:求与平面所成的线面角,只
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