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（09解三角形） 三、解答题： 1、(2008海南、宁夏文)如图，△ACD是等边三角形，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，BD交AC于E，AB=2。（1）求cos∠CBE的值；（2）求AE。 1．解：（Ⅰ）因为，， 所以． 所以． （Ⅱ）在中，， 由正弦定理． 故 2. (2008湖南理)在一个特定时段内，以点E为中心的7海里以内海域被设为警戒水域.点E正北55海里处有一个雷达观测站A.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东且与点A相距40海里的位置B，经过40分钟又测得该船已行驶到点A北偏东+(其中sin=，)且与点A相距10海里的位置C. （I）求该船的行驶速度（单位：海里/小时）; （II）若该船不改变航行方向继续行驶.判断它是否会进入警戒水域，并说明理由. 2．解: （I）如图，AB=40，AC=10， 由于,所以cos= 由余弦定理得BC= 所以船的行驶速度为（海里/小时）. （II）解法一 如图所示，以A为原点建立平面直角坐标系， 设点B、C的坐标分别是B（x1，y2）, C（x1，y2）, BC与x轴的交点为D. 由题设有，x1=y1= AB=40, x2=ACcos, y2=ACsin 所以过点B、C的直线l的斜率k=,直线l的方程为y=2x-40. 又点E（0，-55）到直线l的距离d= 所以船会进入警戒水域. 解法二: 如图所示，设直线AE与BC的延长线相交于点Q. 在△ABC中，由余弦定理得， ==. 从而 在中，由正弦定理得， AQ= 由于AE=5540=AQ，所以点Q位于点A和点E之间，且QE=AE-AQ=15. 过点E作EP BC于点P，则EP为点E到直线BC的距离. 在Rt中，PE=QE·sin = 所以船会进入警戒水域. 3．ABC中．a、b、c分别为角A、B、C所对的边长， a＝2，tan＋tan＝4，sin B sin C＝cos2．求A、B及b、c． 3.解：A、B、C为△ABC三内角，∴ ∴，即。 又，∴， 整理得，∴ 由可得，∴ ∵sinB≤1，∴cosA≤0，而A 为△ABC内角，则A必为钝角。 ∴C应为锐角，∴ 。 则，代入，得 ，将左边展开并整理得： ，又A为钝角，∴ ，故 ∴△ABC为等腰△，，作图如右： 易解得b = c = 2 综上，，，b = c = 2 4．在中，内角对边的边长分别是，已知，． Ⅰ）若的面积等于，求； Ⅱ）若，求的面积． ， 又因为的面积等于，所以，得． 4分 联立方程组解得，． 6分 （Ⅱ）由正弦定理，已知条件化为， 8分 联立方程组解得，． 所以的面积． 12分 5．在中，内角对边的边长分别是，已知，． Ⅰ）若的面积等于，求； Ⅱ）若，求的面积． ， 又因为的面积等于，所以，得． 4分 联立方程组解得，． 6分 （Ⅱ）由题意得， 即， 8分 当时，，，，， 当时，得，由正弦定理得， 联立方程组解得，． 所以的面积． 12分 6．(2008全国Ⅰ卷文)设的内角所对的边长分别为，且，． （Ⅰ）求边长； （Ⅱ）若的面积，求的周长． 6．解：（1）由与两式相除，有： 又通过知：， 则，， 则． （2）由，得到． 由， 解得：， 最后． 7．(2008全国Ⅰ卷理) 设的内角所对的边长分别为，且． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求的最大值． 7．解析：（Ⅰ）在中，由正弦定理及 可得 即，则； （Ⅱ）由得 当且仅当时，等号成立， 故当时，的最大值为. 8．(2008全国Ⅱ卷理)在中，，． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）设的面积，求的长． 8．解：（Ⅰ）由，得， 由，得． 所以． 5分 （Ⅱ）由得， 由（Ⅰ）知， 故， 8分 又， 故，． 所以． 10分 9．(2008全国Ⅱ卷文) 在中，，． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）设，求的面积． 9．解：（Ⅰ）由，得， 由，得． 2分 所以． 5分 （Ⅱ）由正弦定理得． 8分 所以的面积． 10分 10．(2008上海文、理)如图，某住宅小区的平面图呈扇形AOC．小区的两个出入口设置在点A及点C处，小区里有两条笔直的小路，且拐弯处的转角为． 已知某人从沿走到用了10分钟，从沿走到 用了6分钟．若此人步行的速度为每分钟50米，求该扇形的 半径的长（精确到1米）． 10. 【解法一】设该扇形的半径为r米. 由题意，得 CD=500（米），DA=300（米），∠CDO=……………………………4分 在中，……………6分 即…………………….9分 解得（米）. …………………………………………….13分 【解法二】连接AC，作OH⊥AC，交AC于H…………………..2分 由题意，得CD=500（米），AD=300（米），………….4分 ∴?AC=700（米） ………………