2010年全国高中数学联赛试题参考答案评分标准(一、二试)A卷.pdfVIP

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2010年全国高中数学联赛试题参考答案评分标准(一、二试)A卷

2010 年全国高中数学联合竞赛年全国高中数学联合竞赛一一试试 年全国高中数学年全国高中数学联合竞赛联合竞赛一一试试 试题参考答案(试题参考答案 (A 卷)卷) 试题参考答案试题参考答案 (( 卷卷)) 一、一、填空题填空题((本题满分本题满分 5656 分,分,每小题每小题 88 分)分) 一一、、填空题填空题 ((本题满分本题满分 5656 分分,,每小题每小题 88 分分)) 1. 函数(f )x = x − 5 − 24 − 3x 的值域是 [−3, 3] . 解:易知(f )x 的定义域是5,[8 ] ,且(f )x 在5,[8 ]上是增函数,从而可知(f )x 的值域为[−3, 3] . 2 3 2. 已知函数y = (a cos x 3−) sin x 的最小值为− 3 ,则实数a 的取值范围是 − ≤ a ≤ 12 . 2 解:令sin x = t ,则原函数化为g (t ) = (−at 2 + a −3) t ,即 g (t ) = −at 3 + (a −3) t . 由 − at 3 + (a −3) t ≥ −3 , − at(t 2 −1) −3( t −1) ≥ 0 , (t −1)( −at (t +1) −3) ≥ 0 及 t − 1≤ 0 知 − at(t +1) − 3 ≤ 0 即 a t ( 2 + t≥) − 3 . (1) 当t0=, 1 − 时(1)总成立; 对0 t ≤1,0 t 2 + t ≤ 2 ; 1 2 对− 1 t 0, − ≤ t + t 0 . 4 3 从而可知 − ≤ a ≤ 12 . 2 3. 双曲线x 2 − y 2 = 1 的右半支与直线x = 100 围成的区域内部(不含边界)整点(纵横坐标均为 整数的点)的个数是 9800 . 解:由对称性知,只要先考虑x 轴上方的情况,设y k= k ( 1=,2, ,99L) 与双曲线右半支于Ak ,交 直线x = 100于B ,则线段A B 内部的整点的个数为99 − k ,从而在x 轴上方区域内部整点的个 k k k 数为 99 ∑(99 − k ) = 99× 49 = 4851 . k =1 又x 轴上有 98 个整点,所以所求整点的个数为 2 × 4851 + 98 = 9800 . 1 4. 已知{a }是公差不为0 的等差数列,{b }是等比数列,其中a =3, b =1, a = b ,3 a = b , n

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