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2011年全国高中数学联合竞赛加试试题参考答案(A卷)
2011 年全国高中数学联合竞赛加试试题参考答案（A卷）
说明：
1．评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分；
2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本
评分标准适当划分档次评分，10 分为一个档次，不要再增加其他中间档次．
P Q, AC BD,
一、（本题满分 40 分）如图， 分别是圆内接四边形ABCD 的对角线 的中
=∠ ∠BPA DPA ∠AQB ∠CQB
点．若 ，证明： ．
D D
Q Q
A A F
P P
B C B C
E
证明 延长线段DP 与圆交地另一点E ，则∠CPE ∠DPA ∠BPA ，又P 是线段AC 的中
∩ ∩
点，故 ，从而 ．
AB CE =∠ ∠CDP BDA
AB PC
=∠ 又∠ABD PCD ，所以△ABD ∽△PCD ，于是 ，即
BD CD
AB CD PC BD ⋅ ⋅
1 1
AB CD =⋅ AC BD =⋅ AC BD=⋅ AC BQ ⋅ ( ) ，
从而有
2 2
AB BQ
即 ．
AC CD
=∠ 又∠ABQ ACD ，所以△ABQ ∽△ACD ，所以∠QAB ∠DAC ．
∩ ∩
延长线段AQ 与圆交于另一点F ，则∠CAB ∠DAF ，故 ．
BC DF
又因为Q 为BD 的中点，所以∠CQB ∠DQF ．
=∠ 又∠AQB DQF ，所以∠AQB ∠CQB ．
2011 年全国高中数学联合竞赛加试（A 卷）答案第 1 页（共 4 页）
二、（本题满分 40 分）证明：对任意整数n ≥4 ，存在一个n 次
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