2011年全国高中数学联赛试题及答案.docVIP

2011年全国高中数学联赛 一 试 一、填空题（每小题8分，共64分） 1．设集合，若中所有三元子集的三个元素之和组成的集合为，则集合 ． 2．函数的值域为 ． 3．设为正实数，，，则 ． 4．如果，，那么的取值范围是 ． 5．现安排7名同学去参加5个运动项目，要求甲、乙两同学不能参加同一个项目，每个项目都有人参加，每人只参加一个项目，则满足上述要求的不同安排方案数为 ．（用数字作答） 6．在四面体中，已知，，，则四面体的外接球的半径为 ． 7．直线与抛物线交于两点，为抛物线上的一点，，则点的坐标为 ． 8．已知C，则数列中整数项的个数为 ． 二、解答题（本大题共3小题，共56分） 9．（16分）设函数，实数满足，，求的值． 10．（20分）已知数列满足：R且， N． （1）求数列的通项公式； （2）若，试比较与的大小． 11．（本小题满分20分）作斜率为的直线与椭圆：交于两点（如图所示），且在直线的左上方． （1）证明：△的内切圆的圆心在一条定直线上； （2）若，求△的面积． 解 答 1．. 提示：显然，在的所有三元子集中，每个元素均出现了3次，所以 ， 故，于是集合的四个元素分别为5－（－1）＝6，5－3＝2，5－5＝0，5－8＝－3，因此，集合． 2．. 提示：设，且，则 ． 设，则，且，所以 ． 3．-1. 提示：由，得．又 ， 即 ． ① 于是 ． ② 再由不等式①中等号成立的条件，得．与②联立解得或 故． 4．. 提示：不等式 等价于 . 又是上的增函数，所以，故 Z)． 因为，所以的取值范围是． 5．15000. 提示：由题设条件可知，满足条件的方案有两种情形： （1）有一个项目有3人参加，共有种方案； （2）有两个项目各有2人参加，共有种方案； 所以满足题设要求的方案数为． 6．. 提示：设四面体的外接球球心为，则在过△的外心且垂直于平面的垂线上．由题设知，△是正三角形，则点为△的中心．设分别为的中点，则在上，且，． 因为，设与平面所成角为，可求得． 在△中，． 由余弦定理得 ， 故．四边形的外接圆的直径 ． 故球的半径． 7．或．提示： 设，由得 ，则，． 又，所以 ， ． 因为，所以，即有 ， 即 ， 即 ， 即 ． 显然，否则，则点在直线上，从而点与点或点重合．所以，解得． 故所求点的坐标为或． 8．15. 提示：C． 要使 为整数，必有均为整数，从而． 当2,8,14,20,26,32,38,44,50,56,62,68,74,80时，和均为非负整数，所以为整数，共有14个． 当时，C，在C中，中因数2的个数为 ， 同理可计算得中因数2的个数为82，中因数2的个数为110，所以C中因数2的个数为，故是整数． 当时，C，在C中，同样可求得中因数2的个数为88,中因数2的个数为105,故C中因数2的个数为，故不是整数． 因此，整数项的个数为． 9．因为，所以 ， 所以或，又因为，所以，所以． 又由有意义知，从而 ， 于是 ． 所以 ． 从而 ． 又 ， 所以 ， 故 ．解得或（舍去）． 把代入解得． 所以 ，． 10．（1）由原式变形得 ， 则 ． 记，则，． 又 ，从而有 ， 故 ，于是有 ． （2） ， 显然在时恒有，故． 11．（1）设直线：，． 将代入中，化简整理得 ． 于是有，． 则 ， 上式中， 分子 ， 从而，． 又在直线的左上方，因此，的角平分线是平行于轴的直线，所以△的内切圆的圆心在直线上． （2）若时，结合（1）的结论可知． 直线的方程为：，代入中，消去得 ． 它的两根分别是和，所以，即．所以 ． 同理可求得． 所以 ． 本文档选自华东师范大学出版社的《高中数学联赛备考手册（2012）（预赛试题集锦）》，该书收录了2011年各省市预赛试题和优秀解答。预赛命题人员大多为各省市数学会成员，试题在遵循现行教学大纲，体现新课标精神的同时，在方法的要求上有所提高。命题人员大多同时兼任各省市高考命题工作，试题对高考有一定的指导作用，本书架起了联赛与高考的桥梁，是一本不可或