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2012年上海高考数学理科试题及答案
2012年上海高考数学(理科)试卷
一、填空题(本大题共有14题,满分56分)
1.计算:= (i为虚数单位).
2.若集合,,则= .
3.函数的值域是 .
4.若是直线的一个法向量,则的倾斜角的大小为 (结果用反三角
函数值表示).
5.在的二项展开式中,常数项等于 .
6.有一列正方体,棱长组成以1为首项,为公比的等比数列,体积分别记为V1,V2,…,Vn,…,则 .
7.已知函数(a为常数).若在区间[1,+()上是增函数,则a的取值范围是 .
8.若一个圆锥的侧面展开图是面积为2(的半圆面,则该圆锥的体积为 .
9.已知是奇函数,且.若,则 .
10.如图,在极坐标系中,过点的直线与极轴的夹角.若将的极坐标方程写成的形式,则 .
11.三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛.若每人都选择其中两个项目,则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是 (结果用最简分数表示).
12.在平行四边形ABCD中,∠A=, 边AB、AD的长分别为2、1. 若M、N分别是边BC、CD上的点,且满足,则的取值范围是 .
13.已知函数的图像是折线段ABC,若中A(0,0),B(,5),C(1,0).函数的图像与x轴围成的图形的面积为 .
14.如图,AD与BC是四面体ABCD中互相垂直的棱,BC=2. 若AD=2c,且AB+BD=AC+CD=2a,其中a、c为常数,则四面体ABCD的体积的最大值是 .
二、选择题(本大题共有4题,满分20分)
15.若是关于x的实系数方程的一个复数根,则 ( )
(A). (B). (C).(D).
16.在中,若,则的形状是 ( )
(A)锐角三角形. (B)直角三角形. (C)钝角三角形. (D)不能确定.
17.设,. 随机变量取值、、、、的概率均为0.2,随机变量取值、、、、的概率也为0.2. 若记、分别为、的方差,则 ( )
(A). (B)=. (C).
(D)与的大小关系与、、、的取值有关.
18.设,. 在中,正数的个数是 ( )
(A)25. (B)50. (C)75. (D)100.
三、解答题(本大题共有5题,满分74分)
19.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥底面ABCD,E是PC的中点.已知AB=2,AD=2,PA=2.求:
(1)三角形PCD的面积;(6分)
(2)异面直线BC与AE所成的角的大小.(6分)
20.已知函数.
(1) 若,求的取值范围;(6分)
(2) 若是以2为周期的偶函数,且当时,有,求函数的反函数.(8分)
21.海事救援船对一艘失事船进行定位:以失事船的当前位置为原点,以正北方向为y轴正方向建立平面直角坐标系(以1海里为单位长度),则救援船恰在失事船的正南方向12海里A处,如图. 现假设:①失事船的移动路径可视为抛物线;②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援;③救援船出发小时后,失事船所在位置的横坐标为.
(1)当时,写出失事船所在位置P的纵坐标. 若此时两船恰好会合,求救援船速度的大小和方向;(6分)
(2)问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船?(8分)
22.在平面直角坐标系中,已知双曲线.
(1)过的左顶点引的一条渐近线的平行线,求该直线与另一条渐近线及x轴围成
的三角形的面积;(4分)
(2)设斜率为1的直线l交于P、Q两点,若l与圆相切,求证:OP⊥OQ;(6分)
(3)设椭圆. 若M、N分别是、上的动点,且OM⊥ON,求证:O到直线MN的距离是定值.(6分)
23.对于数集,其中,,定义向量集. 若对于任意,存在,使得,则称X具有性质P. 例如具有性质P.
(1)若x2,且,求x的值;(4分)
(2)若X具有性质P,求证:1(X,且当xn1时,x1=1;(6分)
(3)若X具有性质P,且x1=1,x2=q(q为常数),求有穷数列的通项公式.(8分)
2012年上海高考数学(理科)试卷解答
一、填空题(本大题共有14题,满分56分)
1.计算:= 1-2i (i).
[解析] .
2.若集合,,则= .
[解析] ,,A∩B=.
3.函数的值域是 .
[解析](.
4.若是直线的一个法向量,则的倾斜角的大小为 arctan2 (结果用反三角
函数值表示).
[解析] 方向向量,所以,倾斜角(=arctan2.
5.在的二项展开式中,常数项等于 -160 .
[解析] 展开式通项,令6-2r=0,得r=3,
故常数项为.
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