2013全国高中数学联赛天津预赛试题及其解答.pdfVIP

2013 年高中数学联赛天津市预赛参考答案与评分标准 一. 选择题 (每小题 6 分, 共 36 分) 1. 设函数 f x √ − x · (|x − | ). 考虑命题p : f x 是奇函数; 命题 q: − f x 是偶函数. 那么, 以下结论正确的是 (A). p , q (B). p , ¬q (C). ¬p , q (D). ¬p , ¬q 解: 注意 f x 的定义域是−, ∪ , , 所以 f x √ − x · ( − x ) √ − x · ( − x · ), − − 容易看出 f x 是奇函数, 不是偶函数. 选 (B). 2. 设B , C 是定点且都不在平面π 上, 动点A 在平面π 上且sin ABC . 那么, A 点的轨迹是 (A). 椭圆 (B). 抛物线 (C). 双曲线 (D). 以上皆有可能 解: 满足 sin ABC 的A 点轨迹是以B 为锥顶, 以BC 为轴线的一个圆 ◦ 锥面 (母线与轴线的夹角为 ). 现在, A 点还需落在平面π 上, 从而其轨迹是圆 锥面与平面π 的交线, 可能是三种圆锥曲线中的任何一种. 故选 (D). −−→ −−→ −−→ −→ 3. 在 △ABC 中, BC · BA CB · CA, 则△ABC 是 (A). 等腰三角形 (B). 直角三角形 (C). 等腰直角三角形 (D). 以上均不对 −−→ −−→ −→ 解: 所给数量积等式可转化为 BC · AB AC . 若记 BC 的中点为D, 则 −−→ −→ −−→ −−→ −−→ AB AC AD, 从而BC ·AD . 这表明BC 与中线AD 垂直, 因此△ABC 是等腰三角形. 选 (A). 4. 等差数列 {a } 前n 项的和为S , 已知 , , 则 的值是 (A). 125 (B). 85 (C). 45 (D). 35 解: 由于S · a , 所以由已知条件可得 a a , 从而 a a , a a . 现在, S · a , 所以 S a . 选 (C). 5. 如果曲线y sin 的两条互相垂直的切线交于P 点, 则P 点的坐标不可能是 (A). π, π (B). π, −π (C). π, −π