2013年北京市高一数学竞赛复赛试题及解答.pdf

2013 2013 北京市中学生数学竞赛 高一年级复赛试题及解答 2013年5月12日9:00～11:00 一、填空题（满分40分，每小题8分，将答案写在下面相应的空格中） 题 号 1 2 3 4 5 ⎧1− 5 1+ 5⎫ 4 6 ⎪ ⎪ 答 案 Φ 17 2−24 2772 ⎨ ,1, ⎬ ⎪ 2 2 ⎪ 3 ⎩ ⎭ 4 4 4 2 2 2 2 2 2 1．方程x+y+z−2xy−2yz−2zx=24的全部整数解(x,y,z)的集合是 ． 答：Φ． 4 4 4 2 2 2 2 2 2 解：因为 x+y+z−2xy−2yz−2zx 2 2 2 2 2 2 =(x−y−z) −4zx 2 2 2 2 2 2 =(x−y−z+2zx)(x−y−z−2zx) =(x+y−z)(x−y+z)(x+y+z)(x−y−z) 所以原方程等价于 (x+y−z)(x−y+z)(x+y+z)(x−y−z)=24． (x,y, z) x+y−z x−y+z x+y+z x−y−z 若方程有整数解 ，则 、 、 、 均为整数，其乘积等于 偶数24，因此x+y−z、x−y+z、x+y+z、x−y−z中至少有一个为偶数．而x+y−z、x−y+z、 x+y+z、x−y−z同奇偶，所以它们都是偶数．因此，方程左边被16 整除，而右边的24 不被16整除，矛盾！所以方程有整数解(x,y,z)的假设不成立，即方程无整数解，也就 4 4 4 2 2 2 2 2 2 是方程x+y+z−2xy−2yz−2zx=24的全部整数解(x,y,z)的集合是Φ． 2 ABCD D C y=x y y=x ．如右图，菱形 的顶点 、 在直线 上，且顶点 A B y=x2 DA y ABCD 、 在曲线 上， 平行于 轴，则菱形 的面积 C 2 y=x D = ． B A 答：17 2−24．