2014年华约自主招生数学试题(word版,有答案).doc

2014年华约自主招生数学试题 1.是正整数,任取四个其和组成的集合为{44,45,46,47},求这五个数. 2.乒乓球比赛,五局三胜制.任一局甲胜的概率是,甲赢得比赛的概率是,求为多少时,取得最大值. 3.函数的最大值为1,最小值为,求的值. 4.(1)证明的反函数为; (2),若的反函数是,证明为奇函数. 5.已知椭圆与圆,过椭圆上一点作圆的两切线,切点分别为,直线与轴分别交于点,求的最小值. 6.已知数列满足:.(1)若,求;(2)若,求证:数列有界. 7.已知求证:. 华约参考答案: 1.【解】五个数任取四个应该可以得到个不同的和,现条件中只有4个不同的和,故必有两个和值相同.而这五个和值之和为,是4的倍数,所以这个相同的和值只可能是46,从而有,故这五个数分别为57-44=13,57-45=12,57-46=11,57-47=10,57-46=11,即10,11,11,12,13. 2.【解】若共比赛了3局,则甲赢得比赛的概率为; 若共赛了4局,则最后一局甲胜,甲赢得比赛的概率为; 若共比赛了5局,则最后一局甲胜,甲赢比赛的概率为,因此 , 所以,; 设,,则, 即, 所以, 又因为,所以,故, 所以令时,即,得; 又因为,所以取, 易知当时,时,, 所以当时,有唯一极大值,也是最大值. 3.【解】易知,令, 则问题等价于在上的最大值和最小值分别为1和. ①当对称轴,即时,则在上递减,则 ,解得 ②当对称轴,即时,则, 消去得,解得,舍去. 综上①②可知,为所求. 4.【解】(1)证明:由反函数定义可知的反函数为,故 ,从而, 所以为的反函数. (2)由的反函数是,故, 则又因为,所以, 代入得,所以为奇函数. 5.【解】设,直线为点关于圆的切点弦,其方程为,从而, 于是, 当且仅当时,上述等号成立. 6.【解】(1)当时,,则 由累加法得, 即……(1) ①当时,当时,也适合; ②当时,……(2) 由(1)-(2)得, 所以,当时,也适合; 于是. (2)由,所以, 于是 由累加法得 故, 而, 于是当时,有,显然也成立. 于是有上界. 7.【证明】原不等式等价于. 当,上述不等式左边非正,不等式成立; 当时,由及贝努力不等式, 从而,即证.