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2014年高考数学试题及答案 参考公式： （1）样本数据的方差,其中 （2）直柱体的侧面积，其中为底面周长，是高 （3）柱体的体积公式，其中为底面面积，是高 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。请把答案填写在答题卡相应位置上。 1、已知集合 则 答案： 2、函数的单调增区间是__________ 答案： 3、设复数i满足（i是虚数单位），则的实部是_________ 答案：1 4、根据如图所示的伪代码，当输入分别为2，3时，最后输出的m的值是________ 答案：3 5、从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率是______ 答案： 6、某老师从星期一到星期五收到信件数分别是10，6，8，5，6，则该组数据的方差 解析：可以先把这组数都减去6再求方差， 7、已知 则的值为__________ 解析： 8、在平面直角坐标系中，过坐标原点的一条直线与函数的图象交于P、Q两点，则线段PQ长的最小值是________ 解析：4，设交点为，，则 9、函数是常数，的部分图象如图所示，则 解析：由图可知： 10、已知是夹角为的两个单位向量， 若，则k的值为 解析：由得：k=2 11、已知实数，函数，若，则a的值为________ 解析：， 12、在平面直角坐标系中，已知点P是函数的图象上的动点，该图象在P处的切线交y轴于点M，过点P作的垂线交y轴于点N，设线段MN的中点的纵坐标为t，则t的最大值是_____________ 解析：设则，过点P作的垂线 ， ，所以，t在上单调增，在单调减，。 13、设，其中成公比为q的等比数列，成公差为1的等差数列，则q的最小值是________ 解析：由题意：， ，而的最小值分别为1，2，3；。 14、设集合, , 若 则实数m的取值范围是______________ 解析：当时，集合A是以（2，0）为圆心，以为半径的圆，集合B是在两条平行线之间， ，因为此时无解；当时，集合A是以（2，0）为圆心，以和为半径的圆环，集合B是在两条平行线之间，必有 .又因为 二、解答题：本大题共6小题，共90分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15、（本小题满分14分）在△ABC中，角A、B、C所对应的边为 （1）若 求A的值； （2）若，求的值. 解析：（1） （2） 由正弦定理得：，而 。（也可以先推出直角三角形） 16、（本小题满分14分）如图，在四棱锥中，平面PAD⊥平面ABCD， AB=AD，∠BAD=60°，E、F分别是AP、AD的中点 求证：（1）直线EF‖平面PCD； （2）平面BEF⊥平面PAD 解析：（1）因为E、F分别是AP、AD的中点， 又 直线EF‖平面PCD （2） F是AD的中点， 又平面PAD⊥平面ABCD， 所以，平面BEF⊥平面PAD。 17、请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=FB=xcm （1）若广告商要求包装盒侧面积S（cm）最大，试问x应取何值？ （2）若广告商要求包装盒容积V（cm）最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值。 解析：（1）（0x30）,所以x=15cm时侧面积最大， （2），所以， 当时，，所以，当x=20时，V最大。 此时，包装盒的高与底面边长的比值为 18、（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系中，M、N分别是椭圆的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P、A两点，其中P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k （1）当直线PA平分线段MN时，求k的值； （2）当k=2时，求点P到直线AB的距离d； （3）对任意k0，求证：PA⊥PB 解析：（1）M(-2,0),N(0,), M、N的中点坐标为(-1,), 所以 （2）由得，，AC方程：即： 所以点P到直线AB的距离 （3）法一：由题意设， A、C、B三点共线，又因为点P、B在椭圆上， ，两式相减得： 法二：设, A、C、B三点共线，又因为点A、B在椭圆上, ,两式相减得：, , 19、（本小题满分16分）已知a，b是实数，函数 和是的导函数，若在区间I上恒成立，则称和在区间I上单调性一致 （1）设，若函数和在区间上单调性一致,求实数b的取值范围； （2）设且，若函数和在以a，b为端点的开区间上单调性一致，求|