85年数学高考题.docVIP

1985年高考数学试题 (理工农医类) 一、本题每一个小题都给出代号为A,B,C,D的四个结论,其中只有一个结论是正确的,把正确结论的代号写在题后的括号内. (1)如果正方体ABCD—A′B′C′D′的棱长为a,那么四面体 A′—ABD的体积是 【 】 (A)必要条件 (B)充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分又不必要的条件 【 】 (A)y=x2 (x∈R) (B)y=│sinx│ (x∈R) (C)y=cos2x (x∈R) (D)y=esin2x (x∈R) 【 】 (4)极坐标方程ρ=asinθ(a0)的图象是 【 】 (5)用1,2,3,4,5这五个数字,可以组成比20000大,并且百位数不是数字3的没有重复数字的五位数,共有 (A)96个 (B)78个 (C)72个 (D)64个 【 】 二、只要求直接写出结果. (2)设│a│≤1,求arccosa+arccos(-a)的值. (3)求曲线y2=-16x+64的焦点. (5)设函数f(x)的定义域是[0,1],求函数f(x2)的定义域. 三、(1)解方程 log4(3-x)+log0.25(3+x)=log4(1-x)+log0.25(2x+1). 四、如图,设平面AC和BD相交于BC,它们所成的一个二面角为 45°,P为面AC内的一点,Q为面BD内的一点.已知直线MQ是直线PQ在平面BD内的射影,并且M在BC上.又设PQ与平面BD所成的角为β,∠CMQ=θ(0°θ90°)线段PM的长为a.求线段PQ的长. 五、设O为复平面的原点,Z1和Z2为复平面内的两个动点,并且满足: (2)△OZ1Z2的面积为定值S. 求△OZ1Z2的重心Z所对应的复数的模的最小值. (1)证明不等式 对所有的正整数n都成立. 八、设a,b是两个实数, A={(x,y)│x=n,y=na+b,n是整数}, B={(x,y)│x=,m,y=3m2+15,m是整数}, C={(x,y)│x2+y2≤144} 是平面XOY内的点集合.讨论是否存在a和b使得 (2)(a,b)∈C 同时成立. 九、(附加题,不计入总分) 已知曲线y=x3-6x2+11x-6.在它对应于x∈[0,2]的弧段上求一点P,使得曲线在该点的切线在y轴上的截距为最小,并求出这个最小值. 1985年试题(理工农医类)答案 一、本题考查基本概念和基本运算. (1)D; (2)A; (3)B; (4)C; (5)B. 二、本题考查基础知识和基本运算,只需直接写出结果. (2)π; (3)(0,0); (4)64(或26); (5)[-1,1](或{x│-1≤x≤1},或-1≤x≤1). 三、本题考查对数方程、无理不等式的解法和分析问题的能力. (1)解法一:由原对数方程得 因为log0.25a=-log4a,上式变成 由此得到 解这个方程,得到 x1=0,x2=7. 检验:把x=0代入原方程,左右两边都等于0;故x=0是原方程的根.但当x=7时,由于3-x0,1-x0,它们的对数无意义;故x=7不是原方程的根,应舍去. 因此,原对数方程的根是x=0. 对原方程变形,同解法一,得 x1=0, x2=7. 2x+5x2+2x+1, x24,即-2x2. 但由条件x≥-1,因此-1≤x2也是原不等式的解. 综合(i),(ii),得出原不等式的解集是 四、本题考查三垂线定理、二面角、斜线与平面所成的角、解三角形、空间想象能力和综合运用知识的能力. 解法一:自点P作平面BD的垂线,垂足为R,由于直线MQ是直线PQ在平面BD内的射影,所以R在MQ上,过R作BC的垂线,设垂足为N,则PN⊥BC.(三垂线定理) 因此∠PNR是所给二面角的平面角,所以∠PNR=45°. 由于直线MQ是直线PQ在平面BD内的射影,所以∠PQR=β. 在Rt△PNR中,NR=PRctg45°,所以NR=PR. 又已知0°θ90°,所以 解法二:同解法一,得∠PQR=β. 设:∠PMR=α则在Rt△PMR中,MR=acosα, PR=asinα, 在Rt△MNR中,NR=MRsinθ=acosα·sinθ. 又在Rt△PNR中,由于∠PNR=45°,所以PR=NR. 于是 asinα=acosα·sinθ, tgα=sinθ, 在△PMQ中,应用正弦定理得 五、本题考查复数的概念、复数运算的几何意义、三角恒等式、不等式以及灵活运用知识的能力. 解法一:设Z1、Z2和Z对应的复数分别为z1、z2和z,其中 z1=r1(cosθ+isinθ), z2=r2(cosθ-isinθ). 由于Z是△OZ1Z2的重心,根据复数加法的几何意义,则有3z=z1+z2=(r1+r2)cosθ+(r1-r2)isinθ. 于是 │3z│2=(r1