初二数学培优训练题2十1.docVIP

? 补形法应用 一些几何题的证明或求解，由原图形分析探究，有时显得十分繁难，若通过适当的“补形”来进行，即添置适当的线，将原图形填补成一个完整的、特殊的、简单的新图形，则能使原问题的本质得到充分的显示，通过对新图形的分析，使原问题顺利获解。这种方法，我们称之为补形法，它能培养思维能力和解题技巧。我们学过的三角形、特殊四边形、圆等都可以作为“补形”的对象。现就常见的添补的图形举例如下，以供参考。 一、补成三角形 1.补成三角形 例1.如图1，已知E为梯形ABCD的腰CD的中点； 证明：ABE的面积等于梯形ABCD面积的一半。 分析：过一顶点和一腰中点作直线，交底的延长线于一点，构造等面积的三角形。这也是梯形中常用的辅助线添法之一。 略证： 2.补成等腰三角形 例2 如图2.已知A＝90°，AB＝AC，1＝2，CEBD，求证：BD＝2CE 分析：因为角是轴对称图形，角平分线是对称轴，故根据对称性作出辅助线，不难发现CF＝2CE，再证BD＝CF即可。 略证： 3.补成直角三角形 例3.如图3，在梯形ABCD中，ADBC，B＋C＝90°，F、G分别是AD、BC的中点，若BC＝18，AD＝8，求FG的长。 分析：从B、C互余，考虑将它们变为直角三角形的角，故延长BA、CD，要求FG，需求PF、PG。 略解： 4.补成等边三角形 例4.图4，ABC是等边三角形，延长BC至D，延长BA至E，使AE＝BD，连结CE、ED。 证明：EC＝ED 分析：要证明EC＝ED，通常要证ECD＝EDC，但难以实现。这样可采用补形法即延长BD到F，使BF＝BE，连结EF。 略证： 二、补成特殊的四边形 1.补成平行四边形 例5.如图5，四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、CD、AC、BD的中点，并且E、F、G、H不在同一条直线上，求证：EF和GH互相平分。 分析：因为平行四边形的对角线互相平分，故要证结论，需考虑四边形EHF是平行四边形。 略证： 2.补成矩形 例6.如图6，四边形ABCD中，A＝60°，B＝D＝90°，AB＝200m，CD＝100m，求AD、BC的长。 分析：矩形具有许多特殊的性质，巧妙地构造矩形，可使问题转化为解直角三角形，于是一些四边形中较难的计算题不难获解。 略解： 3.补成菱形 例7.如图7，凸五边形ABCDE中，A=∠B＝120°，EA＝AB＝BC＝2，CD＝DE＝4，求其面积 分析：延长EA、CB交于P，根据题意易证四边形PCDE为菱形。 略解：4.补成正方形 例8.如图8，在ABC中，ADBC于D，BAC＝45°，BD＝3，DC＝2。求ABC的面积。 分析：本题要想从已知条件直接求出此三角形的面积确实有些困难，如果从题设BAC＝45°，ADBC出发，可以捕捉到利用轴对称性质构造一个正方形的信息，那么问题立即可以获解。 略解： 5.补成梯形 例9．如图9，已知： G是ABC中BC边上的中线的中点，L是ABC外的一条直线，自A、B、C、G向L作垂线，垂足分别为A1、B1、C1、G1。求证：GG1＝ (2AA1＋BB1＋CC1)。 分析：本题从已知条件可知，中点多、垂线多特点，联想到构造直角梯形来加以解决比较恰当，故过D作DD1L于D1，则DD1既是梯形BB1C1C的中位线，又是梯形DD1A1A的一条底边，因而，可运用梯形中位线定理突破，使要证的结论明显地显示出来，从而使问题快速获证。 略证： 三、练习1、在ABC中，AC=BC，D是AC上一点，且AE垂直BD的延长线于E，又AE=BD，求证：BE平分ABC。 2、如图，已知：在ABC内，BAC=60°，ACB=40°，P、Q分别在BC、CA上，并且AP、BQ分别是BAC、ABC的角平分线，求证：BQ+AQ=AB+BP 3、已知：BAC=90°，AB=AC，AD=DC，AEBD，求证：ADB=∠CDE 4、设正三角形ABC的边长为2，M是AB边上的中点，P是BC边上的任意一点，PA+PM的最大值和最小值分别记为S和，求：S－t的值。 附件： 结论是BQ+AQ=AB+BP吧 ∵∠BAC=60°,∠ACB=40° ∴∠ABC=180°-∠BAC-∠ACB=80° ∵AP,BQ是角平分线 ∴∠PAB=∠PAC,∠CBQ=∠ABC/2=40° ∴∠CBQ=∠ACB,BQ=CQ ∴AQ+BQ=AQ+CQ=AC 在AC上截取AM=AB,连PM ∵AM=AB,∠PAC=∠PAB,AP=AP ∴△BAP≌△MAP(SAS) ∴BP=PM,∠AMP=∠ABP=80° ∴∠MPC=∠AMP-∠ACB=40°=∠ACB ∴MP=CM ∴BP=CM ∴AB+BP=AM+CM=AC ∴BQ+AQ=AB+BP 解：证明：延长AE、BC，相交于点F ACB=90°