初二数学经典题(解析版).docVIP

2012年初二数学经典难题（解析版） 一、解答题 详细信息 1.难度：中等 已知：如图，P是正方形ABCD内点，∠PAD=∠PDA=15°．求证：△PBC是正三角形．（初二） 【答案】分析：在正方形内做△DGC与△ADP全等，根据全等三角形的性质求出△PDG为等边，三角形，根据SAS证出△DGC≌△PGC，推出DC=PC，推出PB=DC=PC，根据等边三角形的判定求出即可．解答：证明：∵正方形ABCD，∴AB=CD，∠BAD=∠CDA=90°，∵∠PAD=∠PDA=15°，∴PA=PD，∠PAB=∠PDC=75°，在正方形内做△DGC与△ADP全等，∴DP=DG，∠ADP=∠GDC=∠DAP=∠DCG=15°，∴∠PDG=90°-15°-15°=60°，∴△PDG为等边三角形（有一个角等于60度的等腰三角形是等边三角形），∴DP=DG=PG，∵∠DGC=180°-15°-15°=150°，∴∠PGC=360°-150°-60°=150°=∠DGC，在△DGC和△PGC中，∴△DGC≌△PGC，∴PC=AD=DC，和∠DCG=∠PCG=15°，同理PB=AB=DC=PC，∠PCB=90°-15°-15°=60°，∴△PBC是正三角形．点评：本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定等知识点的应用，关键是正确作出辅助线，又是难点，题型较好，但有一定的难度，对学生提出了较高的要求． 详细信息 2.难度：中等 已知：如图，在四边形ABCD中，AD=BC，M、N分别是AB、CD的中点，AD、BC的延长线交MN于E、F．求证：∠DEN=∠F． 【答案】分析：连接AC，作GN∥AD交AC于G，连接MG，根据中位线定理证明MG∥BC，且GM=BC，根据AD=BC证明GM=GN，可得∠GNM=∠GMN，根据平行线性质可得：∠GMF=∠F，∠GNM=∠DEN从而得出∠DEN=∠F．解答：证明：连接AC，作GN∥AD交AC于G，连接MG．∵N是CD的中点，且NG∥AD，∴NG=AD，G是AC的中点，又∵M是AB的中点，∴MG∥BC，且MG=BC．∵AD=BC，∴NG=GM，△GNM为等腰三角形，∴∠GNM=∠GMN，∵GM∥BF，∴∠GMF=∠F，∵GN∥AD，∴∠GNM=∠DEN，∴∠DEN=∠F．点评：此题主要考查平行线性质，以及三角形中位线定理，关键是证明△GNM为等腰三角形． 详细信息 3.难度：中等 如图，分别以△ABC的边AC、BC为一边，在△ABC外作正方形ACDE和CBFG，点P是EF的中点，求证：点P到AB的距离是AB的一半． 【答案】分析：分别过E，F，C，P作AB的垂线，垂足依次为R，S，T，Q，则PQ=（ER+FS），易证Rt△AER≌Rt△CAT，则ER=AT，FS=BT，ER+FS=AT+BT=AB，即可得证．解答：解：分别过E，F，C，P作AB的垂线，垂足依次为R，S，T，Q，则ER∥PQ∥FS，∵P是EF的中点，∴Q为RS的中点，∴PQ为梯形EFSR的中位线，∴PQ=（ER+FS），∵AE=AC（正方形的边长相等），∠AER=∠CAT（同角的余角相等），∠R=∠ATC=90°，∴Rt△AER≌Rt△CAT（AAS），同理Rt△BFS≌Rt△CBT，∴ER=AT，FS=BT，∴ER+FS=AT+BT=AB，∴PQ=AB．点评：此题综合考查了梯形中位线定理、全等三角形的判定以及正方形的性质等知识点，辅助线的作法很关键． 详细信息 4.难度：中等 设P是平行四边形ABCD内部的一点，且∠PBA=∠PDA．求证：∠PAB=∠PCB． 【答案】分析：根据已知作过P点平行于AD的直线，并选一点E，使PE=AD=BC，利用AD∥EP，AD∥BC，进而得出∠ABP=∠ADP=∠AEP，得出AEBP共圆，即可得出答案．解答：证明：作过P点平行于AD的直线，并选一点E，使PE=AD=BC，∵AD∥EP，AD∥BC．∴四边形AEPD是平行四边形，四边形PEBC是平行四边形，∴AE∥DP，BE∥PC，∴∠ABP=∠ADP=∠AEP，∴AEBP共圆（一边所对两角相等）．∴∠BAP=∠BEP=∠BCP，∴∠PAB=∠PCB．点评：此题主要考查了四点共圆的性质以及平行四边形的性质，熟练利用四点共圆的性质得出是解题关键． 满DD D D D 分网 满分网 详细信息 5.难度：中等 P为正方形ABCD内的一点，并且PA=a，PB=2a，PC=3a，求正方形的边长．满DD D D D 分网 满分网 【答案】分析：把△ABP顺时针旋转90°