初二经典数学题汇总.docVIP

菁通数学、沫小碎﹑′的组卷默认标题 - 2011年10月5日一、解答题（共13小题，满分99分） 1、（2002?济南）如图1所示的是某立式家具（角书橱）的横断面，请你设计一个方案（角书橱高2m，房间高2.6m，所以不必从高度方面考虑方案的设计），按此方案，可使该家具能通过如图2中的长廊搬入房间．把你设计的方案画成草图，并说明按此方案可把家具搬入房间的理由．（注：搬运过程中不准拆家具，不准损坏墙壁。 2、在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，设AC=b，BC=a，AB=c，CD=h．求证：（1）1a2+1b2=1h2； （2）以a+b，h和c+h为边是否构成三角形？如果构成三角形，试确定该三角形的形状；如果不能构成三角形，试说明理由． 解：（1）∵∠ACB=90°， ∴a2+b2=c2，S△ABC=12AC?BC=12ab． ∵CD⊥AB于D， ∴S△ABC=12AB?CD=12ch． ∴12ab=12ch， ∴ab=ch， ∴cab=1h， ∴c2a2b2=1h2． ∵a2+b2=c2， ∴a2+b2a2b2=1h2， ∴a2a2b2+b2a2b2=1h2， ∴1a2+1b2=1h2．（2）以a+b，h和c+h为边构成的三角形是直角三角形，∵（a+b）2+h2=a2+2ab+b2+h2=c2+2ab+h2，（c+h）2=c2+2ch+h2∵ab=ch，∴（a+b）2+h2=（c+h）2∴以a+b，h和c+h为边构成的三角形是直角三角形． 3、（2005?绵阳）如图①，分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S1，S2，S3表示，则不难证明S1=S2+S3．（1）如图②，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1，S2，S3表示，那么S1，S2，S3之间有什么关系；（不必证明）（2）如图③，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用S1、S2、S3表示，请你确定S1，S2，S3之间的关系并加以证明；（3）若分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个一般三角形，其面积分别用S1，S2，S3表示，为使S1，S2，S3之间仍具有与（2）相同的关系，所作三角形应满足什么条件证明你的结论；（4）类比（1），（2），（3）的结论，请你总结出一个更具一般意义的结论． 解：设直角三角形ABC的三边BC、CA、AB的长分别为a、b、c，则c2=a2+b2（1）S1=S2+S3；（2）S1=S2+S3证明如下：显然，S1=34c2，S2=34a2，S3=34b2∴S2+S3=34(a2+b2)=34c2=S1；（3）当所作的三个三角形相似时，S1=S2+S3．证明如下：∵所作三个三角形相似∴S2S1=a2c2，S3S1=b2c2∴S2+S3S1=a2+b2c2=1∴S1=S2+S3；（4）分别以直角三角形ABC三边为一边向外作相似图形，其面积分别用S1、S2、S3表示，则S1=S2+S3． 4、如图，长方体的长为15cm，宽为10cm，高为20cm，点B在棱CD上，CB=5cm．一只壁虎要沿长方休的表面从A点爬到B点，需要爬行的最短路径是多少cm？ 解：将长方体按下列两种方案将其展开：如图1，直角三角形中，一直角边为10cm，另外一条为（20+5）=25cm，根据勾股定理得：AB=102+252≈26.9cm；如图2，直角三角形中，一直角边为20cm，另外一条为（10+5）=15cm，根据勾股定理得：AB=202+152=25cm．∴最短路径为25cm． 5、△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c．若∠c=90°，如图（1）所示，根据勾股定理则有a2+b2=c2．若△ABC不是直角三角形，如图（2）（3）所示，请你类比勾股定理，试猜想a2+b2与c2的大小关系．①猜想图（2）中a2+b2与c2的大小关系 a2+b2＞c2 ，并证明你的结论；②猜想图（3）中a2+b2与c2的大小关系 a2+b2＜c2 ，并证明你的结论． 解：①在直角三角形ABD和ACD中，设CD=x，则：b2-x2=AD2=c2-（a-x）2，整理得：a2+b2=c2+2ax∵2ax＞0，∴a2+b2＞c2．②在直角三角形ADB中BDC中，设CD=x，则：c2-（b+x）2=BD2=a2-x2整理得：a2+b2=c2-2bx∵2bx＞0，∴a2+b2＜c2． 6、如图A、B两个村子在河CD的同侧，A、B两村到河的距离分别为AC=1千米，BD