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由一道高考题谈函数的对称中心求法及应用 苏州市田家炳实验高级中学 王耀 （江苏215007） 在2013 年上海市春季高考中，数学试卷的压轴题前两问考查的是如何求函数的对称中心. 下文，笔者 首先分析这道高考试题，并将该问题的数学思想运用到其他相关问题中去，达到举一反三的效果. 1．试题赏析 [2013 年上海春季高考数学试卷31] 已知真命题：“函数y f x 的图像关于点P(a,b ) 成中心对称图形”   的充要条件为“函数y f x a  b 是奇函数”． (1) 将函数g (x) x3 3x2 的图像向左平移1 个单位，再向上平移2 个单位，求此时图像对应的函数解析 式，并利用题设中的真命题求函数g (x) 图像对称中心的坐标； 2x (2) 求函数h(x) log2 图像对称中心的坐标； 4 x (3) 略. 分析：结合题中给出的信息，由于奇函数的对称中心为原点O(0, 0) ，则一个函数的对称中心若不在原 点，那么通过坐标平移后可得到关于原点中心对称的图像，此时函数为奇函数． 第(1) 问，平移后的图像解析式为g (x) x 1 3 3 x 1 2 2 ，化简后得到g (x) x3 3x ．由函数 1     1 y g (x ) 为奇函数，它的对称中心为O(0, 0) ，所以函数g (x) x3 3x2 的对称中心为(1,  2) ． 1 第(2) 问，要求函数y h x 的对称中心，即要考虑将其平移为某个奇函数的图像，而奇函数的定义域关   于原点对称．y h x 的定义域为 0,4 ，则将图像先向左平移2 个单位使定义域关于原点对称，从而得到     2x 对称中心横坐标为 ．那么，对称中心的纵坐标为b h(2) 1 ，即函数h(x) log 的对称中心为(2， 1) . 2 2 4 x 2. 拓展应用 2x 题 1 [苏州大学2013 届高考考前指导卷2-12] 已知函数f (x ) log2 ，若f (a x ) f (a x ) 2b 对 4 x 于满足 ( a，4  a) 的一切x 恒成立，则(a，b)为___________ ． | x | 分析：不难发现，这道题目改编于前文中的高考试题. 如果直接利用题中条件f (a x ) f (a x )