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维普资讯 20O7年第9期 21 第 48届 IMO试题解答 1．给定实数 a。，a2，…，a．对每个 (1≤ (4ab一1)I(4口一1)． i≤n)，定义： 证明：口=b． (英 国 供题) 6．设 n是一个正整数．考虑 di=max{ajI1≤ ≤i}一win{ajI≤_≤『rt}， S={(，Y，z)I、Y、z∈{0，1，…，n}， 且令 d=ma)({dI1≤ ≤rt}． +Y+z0} (1)证 明：对任意实数 。≤ ：≤…≤ 这样一个三维空间中具有 (n+1)。一1个点 ，有 · 的集合．问：最少要多少个平面，它们的并集 才能包含s，但不含(0，0，0)? ma)({Ii一口￡II1≤ ≤n}≥—； q) 二 (荷 兰 供题) (2)证明：存在实数 】≤ 2≤…≤ ， 参 考 答 案 使得式①中的等号成立． (新西兰 供题) 2．设 、 、C、D、E五点 中，四边形 1．(1)设 d=喀(1≤g≤ )，并记 ABCD是平行四边形，四边形 BCED是圆内 =max{ajIl≤ ≤g}，n，=vain{ajIg≤ ≤ }． 接四边形．设 z是通过点 的一条直线，z与 则1≤．p≤g≤r≤ ，且 d= 一n． 线段DC交于点F(F是线段DC的内点)，且 对任意实数 。≤ ：≤…≤ ，注意到 z与直线BC交于点G．若 EF=EG=EC，求 ( 一 )+(，一ar)=( 一n)+(，一 ) 证：z是 DAB的平分线． (卢森堡 供题) ≥ 一n，=d， 3．在一次数学竞赛活动中，有一些参赛 选手是朋友，朋友关系是相互的．如果一群参 所以，一≥导或一≥号． 赛选手中的任何两人都是朋友，就称这一群 故max{I 一nII1≤i≤ } 选手为一个 “团”(特别地，人数少于2的一群 ~max{I 一 I，I，一n，I} 也是一个团)． ≥ll】a】{【一Xp，一n，}≥孚． 已知在这次竞赛中，最大的团(人数最多 (2)解法l：定义序列{ }如下： 的团)的人数是一个偶数．证明：总能把参赛 ，： n1一 选手分配到两个教室，使得一个教室中的最 l=n1一要，’=：maxl一一l1，一一-yd}}L(2z毫≤鼍≤)．’ 大团的人数等于另一个教室中的最大团的 下面证明对这个序列式①取等号． 人数 ． (俄罗斯 供题) 由{ }的定义知，{ }是不减的，且 一 ≥ 4．在△ABC中，BCA的平分线与△ABC 一 要，对所有1≤j}≤ 成立． 的外接圆交于点 尺，与边 BC的垂直平分线