例谈多元函数条件最值的解法——由一道江苏数学联赛初赛题谈起.pdfVIP

第7朝 高中数学教与学 例谈多元函数条件最值的解法 — — 由一道江苏数学联赛初赛题谈起 张立建 (江苏省建湖高级中学，224700) 多元 函数的条件最值是各类竞赛 的热 d ： ： 1． 点，由于此类题 目往往涉及到函数、方程、不 后 +1 等式、三角、平面几何、向量等知识，灵活性、技 解得…争所以芋≤_2L≤． 巧性、综合性很强，解决策略较多．兹介绍如 下． 评注 当我们要求的多元函数的结构形 一 、 用数形结合思想求最值 式与学过的公式 (如两点间距离公式、斜率公 例1 (2013年全国高中数学联赛江苏赛 式、点到直线距离公式等)结构类似时，可考 区初赛题)设实数 、Y满足 一4x+Y+3： 虑数形结合的思想．再看几例： 0，则 + 的最大值与最小值之差是——一． 例2 若Y= ，求 解 (数形结合法) +Y 一6x一4y+ l3 一 一 + 1 由题意知，点(，Y)在圆(一2)+y2=1 的最大值． 上 ， + 表示圆上的点到原点距离的平方 ， 解 ，(，Y)=V(x一3)+(y一2) 其最大值为9，最小值1，因此 + 的最大值 一 +( 一1) 与最小值之差是8． ： V(x一3)+( 一2)。 变式 设实数 、Y满足 一4x+ +3= 一 V(x一0)+( 一1)， 0，求 +Y及上 的取值范围． ，Y)的几何意义是抛物线Y= 上的 解 令 +Y=t，则t的几何意义是斜率 点P(，)到两个定点A(3，2)，8(0，1)的距 为 一1的平行直线系中，与圆(一2) +y2= 离之差 ，所以 1有交点的直线的纵截距．因为有交点 ，所 以 I I—I胎 l≤IAB I= ， 圆心到直线的距离d： ≤l，解得 所以 ，Y)的最大值为 10． √1‘+ 1‘ 例3 设变量 ，y满足约束条件 2一√2≤t≤2+ ，即 +Y的取值范围是 r +2y ≥ 2， 2一 ≤ +Y ≤ 2+ {2x+Y≤4， 4【—Y≥一1 ． 令上 =k，则k的几何意义是过原点的直 则目标函数 =3x—Y的取值范围是 一 线系中，与圆(一2)。+Y =1有交点的直线 分析 z的几何意义是斜率为3的直线系 的斜